Решение: Угол между плоскостями пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$.
Решение по шагам
7 шаговРазместим координаты так: $A(2,2,0)$, $B(-2,2,0)$, $C(-2,-2,0)$, $D(2,-2,0)$, где начало координат — центр основания. Пусть $S(0,0,h)$. Из условия $SA=7$ получаем:
$$h^2+2^2+2^2=7^2,\qquad h=\sqrt{41}$$Так как $DN:NC=1:3$, точка $N$ делит отрезок $DC$ в отношении $1:3$. Аналогично, из $SK:KC=1:3$ получаем координаты точек:
$$N(1,-2,0),\qquad K\left(-\frac12,-\frac12,\frac{3\sqrt{41}}4\right)$$Направляющий вектор прямой $KN$ можно умножить на $4$: $\overrightarrow{KN}=(-6,6,3\sqrt{41})$. Направляющий вектор прямой $BC$ равен $(0,1,0)$. Поэтому нормальный вектор плоскости $\alpha$ пропорционален их векторному произведению:
$$\vec n_{\alpha}\sim (0,1,0)\times(-6,6,3\sqrt{41})=(3\sqrt{41},0,6)\sim(\sqrt{41},0,2)$$Направляющий вектор прямой $SA$ равен $\overrightarrow{SA}=(2,2,-\sqrt{41})$. Проверим, что он перпендикулярен нормали плоскости $\alpha$:
$$(\sqrt{41},0,2)\cdot(2,2,-\sqrt{41})=2\sqrt{41}-2\sqrt{41}=0$$Следовательно, прямая $SA$ параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать в пункте а).
Для плоскости $SBC$ возьмём векторы $\overrightarrow{BC}=(0,-4,0)$ и $\overrightarrow{BS}=(2,-2,\sqrt{41})$. Её нормальный вектор пропорционален векторному произведению:
$$\vec n_{SBC}\sim(0,1,0)\times(2,-2,\sqrt{41})=(\sqrt{41},0,-2)$$Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями. Поэтому:
$$\cos\varphi=\frac{|\vec n_{\alpha}\cdot\vec n_{SBC}|}{|\vec n_{\alpha}|\,|\vec n_{SBC}|}=\frac{|41-4|}{\sqrt{41+4}\sqrt{41+4}}=\frac{37}{45}$$а) $\alpha\parallel SA$; б) $\varphi=\arccos\frac{37}{45}\approx35{,}9^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить координаты точки $N$: при отношении $DN:NC=1:3$ точка находится на четверти отрезка от $D$ к $C$.
Использовать угол между направляющими векторами вместо угла между нормалями плоскостей.
Не брать абсолютное значение скалярного произведения при вычислении острого угла между плоскостями.