Решение: Плоскость в треугольной призме
В основании прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1$, считая от точки $A_1$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.
Решение по шагам
6 шаговВыберем масштаб так, чтобы $AB=AA_1=2$. Так как $AB:BC=2:5$, получаем $BC=AC=5$. Поместим призму в координатную систему: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $A_1(0,0,2)$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, точка $C$ имеет абсциссу $1$. Из условия $BC=5$ получаем $1^2+y_C^2=5^2$, поэтому $C(1,\sqrt{24},0)$.
Найдём координаты заданных точек: $P(\frac12,0,0)$, $Q(\frac12,\frac{\sqrt{24}}2,2)$, $M(1,\frac{\sqrt{24}}2,0)$. Поэтому $\overrightarrow{PQ}=(0,\frac{\sqrt{24}}2,2)$.
Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку $PQ$, вектор $\overrightarrow{PQ}$ является нормалью к этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через $M$, имеет вид $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MX}=0$, то есть $\frac{\sqrt{24}}2(y-\frac{\sqrt{24}}2)+2z=0$.
Любая точка ребра $AC$ имеет вид $X(t,t\sqrt{24},0)$. Подставляя эти координаты в уравнение плоскости, получаем $\frac{\sqrt{24}}2(t\sqrt{24}-\frac{\sqrt{24}}2)=0$, откуда $t=\frac12$. Следовательно, плоскость пересекает $AC$ в его середине. Это доказывает пункт а).
Точка ребра $A_1C_1$ делит его в доле $t$ от точки $A_1$ и имеет координаты $X(t,t\sqrt{24},2)$. Подставим их в уравнение плоскости: $\frac{\sqrt{24}}2(t\sqrt{24}-\frac{\sqrt{24}}2)+4=0$. После упрощения получаем $12t-6+4=0$, поэтому $t=\frac16$.
Значит, отрезок $A_1C_1$ разделён плоскостью в отношении $A_1X:XC_1=\frac16:\frac56=1:5$.
Плоскость $\alpha$ делит $AC$ пополам, а ребро $A_1C_1$ — в отношении $1:5$, считая от точки $A_1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно принимают нормаль к плоскости за направляющий вектор самой плоскости.
Забывают, что высота призмы равна $AA_1=AB$.
При вычислении доли на ребре $A_1C_1$ считают расстояние от точки $C_1$, а не от точки $A_1$.
Не учитывают координату $z=2$ для точек верхнего ребра $A_1C_1$.