Решение: Конус и объём тетраэдра
Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$, причём отрезок $AB$ является диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.
Докажите, что $\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1{,}5$. Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC = 1$ и $\cos \angle ASC = \dfrac{2}{3}$.
Решение по шагам
10 шаговПусть $O$ — центр основания конуса, а $h=SO$, $R=OA=OB=OC$. Для любой образующей конуса угол с плоскостью основания равен $60^\circ$, поэтому при $SC=1$ имеем
$$h=SC\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad R=SC\cos 60^\circ=\frac12$$Рассмотрим скалярные произведения векторов $\overrightarrow{SA}$ и $\overrightarrow{SC}$, а также $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SC}$. Так как $AB$ — диаметр, то $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$. Вертикальные составляющие векторов $\overrightarrow{SA}$ и $\overrightarrow{SB}$ равны $-h$, а горизонтальные составляющие взаимно уничтожаются.
$$\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{SC}=2h^2$$Все образующие конуса имеют длину $SC=SA=SB$, поэтому после деления на $SA\cdot SC=SB\cdot SC=1$ получаем
$$\cos\angle ASC+\cos\angle BSC=2h^2=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac32=1{,}5$$Для второй части по условию $\cos\angle ASC=\dfrac23$. Используем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{SA}$ и $\overrightarrow{SC}$:
$$\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=SA\cdot SC\cos\angle ASC=\frac23$$С другой стороны, горизонтальные составляющие этих векторов равны $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$, а вертикальные составляющие дают $h^2=\dfrac34$. Поэтому
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+h^2=\frac23,\qquad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac23-\frac34=-\frac1{12}$$Так как $OA=OC=\dfrac12$, найдём косинус центрального угла $\angle AOC$:
$$\cos\angle AOC=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}}{OA\cdot OC}=\frac{-1/12}{1/4}=-\frac13$$По теореме о длине хорды:
$$AC^2=2R^2(1-\cos\angle AOC)=2\cdot\frac14\cdot\frac43=\frac23$$Поскольку $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой. Кроме того, $\angle BOC=180^\circ-\angle AOC$, поэтому
$$BC^2=2R^2(1-\cos\angle BOC)=2\cdot\frac14\left(1+\frac13\right)=\frac13$$Площадь основания тетраэдра равна площади прямоугольного треугольника $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\sqrt{\frac23}\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt2}{6}$$Высота тетраэдра относительно основания $ABC$ равна высоте конуса $SO=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Поэтому
$$V_{SABC}=\frac13S_{ABC}\cdot SO=\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{36}$$Объём тетраэдра равен $\dfrac{\sqrt6}{36}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать высоту конуса с образующей и брать $SO=1$.
Забывать, что $AB$ является диаметром, поэтому $\angle ACB=90^\circ$.
Использовать формулу объёма пирамиды без множителя $\dfrac13$.
Неверно определять угол между образующей и плоскостью основания.