Решение: Параллельность и высота пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$.
б) Найдите высоту пирамиды, если $AB = 12$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$.
Решение по шагам
9 шаговТак как $M$ и $K$ — середины отрезков $AB$ и $SD$, то в векторной форме
$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BS}\right)$$В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно,
$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BS}\right)$$Векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BS}$ лежат в плоскости $SBC$. Поэтому их сумма также является направляющим вектором, параллельным этой плоскости. Значит, $MK\parallel(SBC)$.
Обозначим через $H$ высоту пирамиды. Выберем координаты: центр основания — начало координат, $A(6,6,0)$, $B(-6,6,0)$, $C(-6,-6,0)$, $D(6,-6,0)$, $S(0,0,H)$. Тогда
$$M=(0,6,0),\quad K=\left(3,-3,\frac H2\right)$$Горизонтальная проекция вектора $\overrightarrow{MK}$ имеет длину
$$\sqrt{3^2+(-9)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$Длина отрезка $MK$ равна
$$MK=\sqrt{90+\frac{H^2}{4}}$$Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой $MK$ и её ортогональной проекцией на основание. Поэтому
$$\sin 60^\circ=\frac{H/2}{\sqrt{90+H^2/4}}$$Возводим равенство в квадрат и решаем:
$$\frac34=\frac{H^2/4}{90+H^2/4};\quad \frac34\left(90+\frac{H^2}{4}\right)=\frac{H^2}{4};\quad H^2=1080$$Так как высота положительна, получаем
$$H=\sqrt{1080}=6\sqrt{30}$$Высота пирамиды равна $6\sqrt{30}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать, что $MK$ является средней линией одного из треугольников пирамиды.
Забывать множитель $\frac12$ при использовании того, что точки являются серединами рёбер.
Использовать косинус вместо синуса при нахождении угла между прямой и плоскостью.
При вычислении длины горизонтальной проекции брать только одну координату направляющего вектора.