Решение: Шестиугольная пирамида и объём
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB = 8$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $45^\circ$.
Решение по шагам
9 шаговВ треугольнике $SAD$ точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $SA$ и $SD$. По теореме о средней линии треугольника $MK \parallel AD$.
$$MK \parallel AD$$Основание пирамиды $SABCDEF$ — правильный шестиугольник. В нём противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$.
$$AD \parallel BC$$Следовательно, две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой.
$$MK \parallel BC$$Пусть $O$ — центр основания, а $H=SO$ — высота исходной пирамиды. В правильном шестиугольнике со стороной $8$ расстояние от центра до стороны $BC$ равно апофеме: $4\sqrt{3}$.
$$r=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8=4\sqrt{3}$$Точки $M$ и $K$ находятся на высоте $H/2$ над основанием. В перпендикулярном сечении угол между плоскостями $BMC$ и основанием равен $45^\circ$, поэтому
$$\tan 45^\circ=\frac{H/2}{4\sqrt{3}}$$Так как $\tan 45^\circ=1$, получаем высоту исходной пирамиды.
$$\frac{H}{2}=4\sqrt{3},\quad H=8\sqrt{3}$$Высота пирамиды $MABF$ равна расстоянию от точки $M$ до основания $ABF$, то есть $H/2=4\sqrt{3}$.
$$h_{MABF}=4\sqrt{3}$$В правильном шестиугольнике $AB=AF=8$, а диагональ $BF$, соединяющая противоположные вершины, равна $2AB=16$? Уточним по координатам: $BF=8\sqrt{3}$. Высота треугольника $ABF$, опущенная на $BF$, равна $4$.
$$S_{ABF}=\frac12\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$$Вычисляем объём пирамиды $MABF$.
$$V=\frac13 S_{ABF}h_{MABF}=\frac13\cdot16\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=64$$Параллельность доказана; объём пирамиды $MABF$ равен $64$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $MK$ параллельна $BC$ непосредственно без применения теоремы о средней линии и свойства правильного шестиугольника.
При вычислении угла между плоскостями использовать высоту исходной пирамиды $H$ вместо высоты точки $M$, равной $H/2$.
Ошибочно принимать диагональ $BF$ за диаметр окружности; в правильном шестиугольнике $BF=8\sqrt{3}$.
Использовать высоту исходной пирамиды при вычислении объёма $MABF$ вместо расстояния от $M$ до плоскости $ABF$.