Сечение треугольной пирамиды
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 2:3$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) Найдите площадь сечения $MNB$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны, а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Найдите площадь сечения . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите прямоугольные треугольники $ADB$, $BDC$ и $CDA$. Какие равенства можно получить из теоремы Пифагора?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из равенств боковых рёбер найдите длину каждого из них. Для площади сечения удобно ввести координаты: $D(0,0,0)$, $A(5,0,0)$, $B(0,5,0)$, $C(0,0,5)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $DM/DA = DN/DC = 2/5$, получаем $M(2,0,0)$ и $N(0,0,2)$. Площадь треугольника $MNB$ найдите через половину длины векторного произведения $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MB}$.