Решение: Сечение треугольной пирамиды
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 2:3$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) Найдите площадь сечения $MNB$.
Решение по шагам
7 шаговПоскольку рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, треугольники $ADB$, $BDC$ и $CDA$ прямоугольные в вершине $D$.
$$AB^2=DA^2+DB^2,\quad BC^2=DB^2+DC^2,\quad AC^2=DA^2+DC^2$$Все стороны основания равны: $AB=BC=AC=5\sqrt{2}$. Поэтому из полученных равенств следует $DA=DB=DC$. Обозначим их общую длину через $x$.
$$x^2+x^2=(5\sqrt{2})^2=50,\quad x=5$$Основание $ABC$ является равносторонним треугольником, а боковые рёбра равны: $DA=DB=DC=5$. Следовательно, пирамида имеет равностороннее основание и равные боковые рёбра, то есть является правильной.
$$AB=BC=CA=5\sqrt{2},\quad DA=DB=DC=5$$Из отношений $DM:MA=2:3$ и $DN:NC=2:3$ получаем $DM/DA=DN/DC=2/5$. Введём координаты $D(0,0,0)$, $A(5,0,0)$, $B(0,5,0)$, $C(0,0,5)$. Тогда $M(2,0,0)$ и $N(0,0,2)$.
$$\frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DC}=\frac{2}{5}$$Сечение проходит через вершину $B$ и точки $M$, $N$, поэтому оно является треугольником $MNB$. Найдём его площадь по векторам $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MB}$.
$$\overrightarrow{MN}=(-2,0,2),\quad \overrightarrow{MB}=(-2,5,0)$$Векторное произведение имеет координаты $(-10,-4,-10)$, поэтому его длина равна $6\sqrt{6}$. Следовательно, площадь сечения равна половине этой длины.
$$\left|\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{(-10)^2+(-4)^2+(-10)^2}=6\sqrt{6}$$Вычисляем площадь треугольника $MNB$.
$$S_{MNB}=\frac12\cdot 6\sqrt{6}=3\sqrt{6}$$Пирамида является правильной, площадь сечения $MNB$ равна $3\sqrt{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что из равенства сторон основания сразу следует равенство боковых рёбер без применения теоремы Пифагора.
Неверно определить долю $DM/DA$: из отношения $DM:MA=2:3$ следует $DM/DA=2/5$.
Вычислить площадь сечения как площадь одного из треугольников боковой грани, не учитывая, что сечение имеет вершины $M$, $N$ и $B$.
Забыть множитель $1/2$ в формуле площади треугольника через векторное произведение.