Решение: Сечение правильной призмы
В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}$.
Решение по шагам
9 шаговОбозначим высоту призмы и длину её бокового ребра через $h$. Так как все рёбра правильной призмы равны, сторона основания также равна $h$. Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(h,0,0)$, $C=\left(\dfrac h2,\dfrac{\sqrt3 h}{2},0\right)$, а верхнее основание получим переносом на высоту $h$.
$$A_1=(0,0,h),\quad B_1=(h,0,h),\quad C_1=\left(\dfrac h2,\dfrac{\sqrt3 h}{2},h\right)$$Из условия $AM=2MA_1$ следует, что $AM=\dfrac{2h}{3}$. Поэтому координаты точки $M$ имеют вид:
$$M=\left(0,0,\dfrac{2h}{3}\right)$$Грань $ABB_1A_1$ лежит в плоскости $y=0$. Плоскость, перпендикулярная этой грани, имеет уравнение, не содержащее $y$: $ax+cz=d$. Подставляя координаты точек $M$ и $C_1$, получаем уравнение плоскости $\alpha$.
$$z=\dfrac{2h}{3}+\dfrac{2x}{3}$$На ребре $A_1B_1$ координата $z$ равна $h$. Поэтому точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$ удовлетворяет равенству:
$$h=\dfrac{2h}{3}+\dfrac{2x}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac h2$$Точка с координатами $\left(\dfrac h2,0,h\right)$ является серединой отрезка $A_1B_1$. Следовательно, плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам.
Обозначим середину ребра $A_1B_1$ через $P$. Сечение призмы плоскостью $\alpha$ является треугольником $MC_1P$. Имеем:
$$P=\left(\dfrac h2,0,h\right)$$Рассмотрим векторы $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{MC_1}$. Их координаты равны:
$$\overrightarrow{MP}=\left(\dfrac h2,0,\dfrac h3\right),\quad \overrightarrow{MC_1}=\left(\dfrac h2,\dfrac{\sqrt3 h}{2},\dfrac h3\right)$$Площадь треугольника найдём как половину модуля векторного произведения этих векторов:
$$S_{MC_1P}=\frac12\left|\overrightarrow{MP}\times\overrightarrow{MC_1}\right|=\frac{\sqrt{39}}{24}h^2$$По условию площадь сечения равна $\sqrt{39}$. Следовательно:
$$\frac{\sqrt{39}}{24}h^2=\sqrt{39}\quad\Rightarrow\quad h^2=24\quad\Rightarrow\quad h=2\sqrt6$$Высота призмы равна $2\sqrt6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать условие $AM=2MA_1$: из него следует $AM=\dfrac{2h}{3}$, а не $\dfrac h2$.
Ошибочно считать, что сечение имеет четыре вершины; фактически оно является треугольником $MC_1P$.
Забыть множитель $\dfrac12$ при вычислении площади треугольника через векторное произведение.
Принять сторону основания за величину, независимую от высоты, хотя в правильной призме все рёбра равны.