Ответ: Сечение правильной призмы
Высота призмы равна $2\sqrt6$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}$.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать условие $AM=2MA_1$: из него следует $AM=\dfrac{2h}{3}$, а не $\dfrac h2$.
Ошибочно считать, что сечение имеет четыре вершины; фактически оно является треугольником $MC_1P$.
Забыть множитель $\dfrac12$ при вычислении площади треугольника через векторное произведение.
Принять сторону основания за величину, независимую от высоты, хотя в правильной призме все рёбра равны.