Цилиндр и угол между прямыми
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2$. Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$. Найдите объём цилиндра.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. а) Докажите, что угол между прямыми и равен . б) Найдите объём цилиндра.
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие свойства имеет треугольник $ABC$, если $AC$ — диаметр окружности?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
По теореме Фалеса $\angle ABC = 90^\circ$. Используйте тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике $ABC$, а для пункта а) рассмотрите скалярное произведение направляющих векторов прямых $AC_1$ и $BC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ и радиус основания $R = \sqrt{2}$. Введя координаты $C=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{2},0,0)$, $C_1=(0,0,2)$, можно взять $B=\left(\frac{3}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{3}{2}},0\right)$ и вычислить косинус угла между прямыми.