Объём пирамиды в правильной призме
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной шестиугольной пирамиде точки и середины боковых рёбер и соответственно. а) Докажите, что прямые и параллельны. б) Найдите объём пирамиды если а угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды равен | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите треугольник $SAD$: точки $M$ и $K$ являются серединами его сторон.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
В сечении, перпендикулярном прямой $BC$, угол между плоскостями можно связать с высотой пирамиды и расстоянием от центра основания до стороны правильного шестиугольника.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
У правильного шестиугольника со стороной $12$ апофема равна $6\sqrt{3}$. Поэтому $\tan 30^\circ=\dfrac{h/2}{6\sqrt{3}}$, откуда $h=12$. Площадь треугольника $ABF$ равна $36\sqrt{3}$, а расстояние от $M$ до плоскости $ABF$ равно $6$, поэтому $V_{MABF}=\dfrac13\cdot36\sqrt3\cdot6=72\sqrt3$.