Сечение правильной пирамиды
Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне основания $BC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$. Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN : NC = DL : LS$. Найдите отношение объёмов двух многогранников, на которые плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$, если $BN : NC = 1 : 3$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точка середина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды Точка лежит на стороне основания Плоскость проходит через точки и параллельно боковому ребру а) Плоскость пересекает боковое ребро в точке Докажите, б) Плоскость делит пирамиду на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $L$. Какие треугольники можно связать с помощью параллельности $SA \parallel ML$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте теорему Фалеса в треугольниках $SBC$ и $SDA$ либо подобие треугольников, учитывая, что $M$ — середина $SC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $BN : NC = 1 : 3$ получаем $DL : LS = 1 : 3$. Сечение является треугольником $NML$; найдите отношение объёма пирамиды $SNML$ к объёму $SABCD$.