Цилиндр и угол между прямыми
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = 1$, $CC_1 = 2\sqrt{2}$. а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. а) Докажите, что угол между прямыми и равен . б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какой угол является прямым в треугольнике $ABC$, если $AC$ — диаметр окружности?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте треугольник $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ для нахождения $AC$, $BC$ и радиуса основания. Для доказательства угла между прямыми удобно рассмотреть скалярное произведение направляющих векторов.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $\angle ABC = 90^\circ$, $AC = 2$, $BC = \sqrt{3}$, а радиус цилиндра равен $1$. При координатах $C=(0,0,0)$, $A=(2,0,0)$, $B=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$, $C_1=(0,0,2\sqrt{2})$ угол между направляющими векторами прямых равен $60^\circ$. Площадь боковой поверхности равна $2\pi Rh$.