Угол между плоскостями параллелепипеда
На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=2$, $AD=6$, $AA_1=6$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$. б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка E так, что , на ребре точка так, что , а точка Т середина ребра . Известно, что , , . а) Докажите, что плоскость проходит через вершину . б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введи координаты вершин параллелепипеда и найди координаты точек $E$, $F$, $T$ и $D_1$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для доказательства принадлежности точки плоскости можно найти нормальный вектор плоскости $EFT$ и проверить скалярное произведение этого вектора на вектор $ED_1$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При выборе координат $A(0,0,0)$ получаются $E(0,0,4)$, $F(2,0,5)$, $T(2,3,6)$, $D_1(0,6,6)$. Нормальный вектор плоскости $EFT$ равен $(-3,-2,6)$, а нормаль к плоскости $AA_1B_1$ — $(0,1,0)$.