Объём правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K$. Докажите, что $K$ — середина ребра $SD$. Найдите объём пирамиды $SABCD$, если $AB=24$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной четырёхугольной пирамиде точка середина ребра Через точку проведена плоскость параллельная плоскости и пересекающая ребро в точке а) Докажите, что середина ребра б) Найдите объём пирамиды если а угол между прямой и плоскостью основания пирамиды равен | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём координаты: основание расположим в плоскости $z=0$, а вершину правильной пирамиды — над центром квадрата.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Плоскость, параллельная $SBC$, имеет такое же уравнение с точностью до свободного члена. Используйте условие прохождения этой плоскости через $M$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $AB=24$ можно взять $A(-12,-12,0)$, $B(12,-12,0)$, $C(12,12,0)$, $D(-12,12,0)$, $S(0,0,h)$. Из угла между $MK$ и основанием найдите $h$, а затем вычислите $V=\dfrac13 AB^2h$.