Решение: Угол между плоскостями параллелепипеда
На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=2$, $AD=6$, $AA_1=6$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$. б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$.
Решение по шагам
8 шаговВведём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Тогда $B(2,0,0)$, $D(0,6,0)$, $A_1(0,0,6)$, $B_1(2,0,6)$, $C_1(2,6,6)$, $D_1(0,6,6)$.
Так как $A_1E:EA=1:2$, точка $E$ делит ребро $A_1A$ так, что $A_1E=2$, поэтому $E(0,0,4)$. Из условия $B_1F:FB=1:5$ получаем $B_1F=1$, поэтому $F(2,0,5)$. Точка $T$ — середина $B_1C_1$, следовательно, $T(2,3,6)$.
Найдём два направляющих вектора плоскости $EFT$: $\overrightarrow{EF}=(2,0,1)$ и $\overrightarrow{ET}=(2,3,2)$. Их векторное произведение является нормалью к этой плоскости:
$$\vec n=\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}=(-3,-2,6)$$Вектор $\overrightarrow{ED_1}=(0,6,2)$. Проверим его перпендикулярность нормали плоскости $EFT$:
$$\vec n\cdot\overrightarrow{ED_1}=(-3)\cdot0+(-2)\cdot6+6\cdot2=0$$Следовательно, отрезок $ED_1$ параллелен плоскости $EFT$. Поскольку точка $E$ принадлежит плоскости $EFT$, плоскость, проходящая через $E$ и параллельная прямой $ED_1$, содержит точку $D_1$. Значит, $D_1\in(EFT)$, то есть плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
Плоскость $AA_1B_1$ задаётся условием $y=0$, поэтому её нормальный вектор можно взять равным $\vec m=(0,1,0)$. Угол между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами.
$$\cos\varphi=\frac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n|\,|\vec m|}$$Вычислим длины и скалярное произведение нормалей:
$$\vec n\cdot\vec m=2,\quad |\vec n|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+6^2}=7,\quad |\vec m|=1$$Поэтому искомый угол удовлетворяет равенству:
$$\cos\varphi=\frac{2}{7},\quad \varphi=\arccos\frac{2}{7}\approx73{,}4^\circ$$Плоскость $EFT$ проходит через $D_1$. Угол между плоскостями равен $\varphi=\arccos\dfrac{2}{7}\approx73{,}4^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить координату точки $E$: из отношения $A_1E:EA=1:2$ следует $A_1E=2$, а не $4$.
Неверно определить координату точки $F$: из отношения $B_1F:FB=1:5$ следует $B_1F=1$.
Использовать угол между нормалями без взятия модуля скалярного произведения.
Забыть, что угол между плоскостями выбирается острым.