Решение: Ромб в правильной призме
Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.
Решение по шагам
7 шаговПусть сторона квадратного основания равна $a$, высота призмы равна $h$, а $AM=x$. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,h)$, $B_1(a,0,h)$, $C_1(a,a,h)$, $D_1(0,a,h)$. Тогда $M=(0,0,x)$.
Поскольку точки $M$, $B_1$, $D$ и $K$ лежат в одной плоскости, из уравнения этой плоскости следует, что высота точки $K$ над основанием равна $h-x$. Поэтому $K=(a,a,h-x)$.
$$CK=h-x$$Четырёхугольник $MB_1KD$ является параллелограммом: его противоположные стороны параллельны и равны. Для ромба соседние стороны равны.
$$|MB_1|=\sqrt{a^2+(h-x)^2},\quad |B_1K|=\sqrt{a^2+x^2}$$Так как $MB_1KD$ — ромб, получаем $(h-x)^2=x^2$. Поскольку $0<x<h$, имеем $h-x=x$, откуда $x=\dfrac h2$. Значит, $AM=MA_1$, то есть $M$ — середина ребра $AA_1$.
$$x=\frac h2$$Площадь основания равна $3$, поэтому $a^2=3$. Диагональ $MK$ лежит в горизонтальной плоскости и равна диагонали квадратного основания: $MK=a\sqrt2$. Диагональ $B_1D$ имеет горизонтальную проекцию, равную $a\sqrt2$, и вертикальную составляющую $h$, поэтому
$$MK=a\sqrt2,\quad B_1D=\sqrt{2a^2+h^2}$$Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Подставим известные значения площади ромба и основания.
$$6=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot\sqrt{2a^2+h^2}=\frac12\cdot\sqrt6\cdot\sqrt{6+h^2}$$Решая полученное уравнение, находим высоту призмы.
$$\sqrt{6+h^2}=2\sqrt6,\quad 6+h^2=24,\quad h^2=18,\quad h=3\sqrt2$$а) $M$ — середина ребра $AA_1$; б) высота призмы равна $3\sqrt2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему точка $K$ находится на высоте $h-\frac h2$.
Используют площадь параллелограмма вместо формулы площади ромба через диагонали без доказательства равенства диагоналей.
Забывают, что сторона квадратного основания удовлетворяет равенству $a^2=3$.
При извлечении квадратного корня выбирают отрицательное значение высоты.