Ромб в правильной призме
Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ — ромб.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если площадь её основания $ABCD$ равна $3$, а площадь ромба $MB_1KD$ равна $6$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Дана правильная четырёхугольная призма Плоскость проходит через вершины и и пересекает рёбра и в точках и соответственно. Известно, что четырёхугольник ромб. а) Докажите, что точка середина ребра б) Найдите высоту призмы если площадь её основания равна 3, а площадь ромба равна 6. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введи обозначения: сторону квадратного основания обозначь через $a$, высоту призмы — через $h$, а $AM$ — через $x$. Рассмотри сечения плоскости $\alpha$ вертикальными плоскостями.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Четырёхугольник $MB_1KD$ является параллелограммом. Его противоположные стороны имеют длины $\sqrt{a^2+(h-x)^2}$ и $\sqrt{a^2+x^2}$. Так как это ромб, данные длины равны.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Из равенства $(h-x)^2=x^2$ следует $x=\dfrac h2$. После этого диагонали ромба равны $a\sqrt2$ и $\sqrt{2a^2+h^2}$, а его площадь равна половине произведения диагоналей.