Призма и параллельность плоскости
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$. б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями и Точка делит а) Докажите, что плоскость параллельна прямой б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания призмы, если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выполните координатную модель: основание расположите в плоскости $z=0$, а высоту призмы обозначьте через $h$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условий $AD=3$, $BC=2$ и $\angle ADC=60^\circ$ удобно взять $D=(0,0,0)$, $A=(3,0,0)$, $C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$, $B=\left(\frac52,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получаются координаты $M=(2,0,h)$ и $K=\left(0,0,\frac h2\right)$. Условие $\angle MKC=90^\circ$ даёт $\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KC}=0$, откуда $h=2$. Затем найдите нормаль к плоскости $MKC$ и тангенс угла её наклона к основанию.