Сечение пирамиды плоскостью
В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, равными $8$ и $3$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:2$, $BN:NC=1:2$. Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $SK:KC=6:1$. б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В основании пирамиды лежит трапеция с основаниями а) Докажите, что б) Плоскость делит пирамиду на два многогранника. Найдите отношение их объёмов. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте параллельность оснований трапеции: $AD\parallel BC$, а также теорему о пропорциональных отрезках в соответствующих сечениях.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Удобно ввести векторы с началом в точке $A$: пусть $\vec{AD}=\vec d$, $\vec{AB}=\vec b$, $\vec{AS}=\vec s$. Тогда $\vec{AC}=\vec b+\frac{3}{8}\vec d$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Имеем $\vec{AM}=\frac{2}{5}\vec s+\frac{3}{5}\vec d$, $\vec{AN}=\vec b+\frac18\vec d$. Представьте точку $K$ на $SC$ в виде $\vec{AK}=(1-t)\vec s+t\left(\vec b+\frac38\vec d\right)$ и найдите $t=\frac67$.