Решение: Сечение пирамиды плоскостью
В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, равными $8$ и $3$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:2$, $BN:NC=1:2$. Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $SK:KC=6:1$. б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
Решение по шагам
11 шаговВведём векторы $\vec{AD}=\vec d$, $\vec{AB}=\vec b$, $\vec{AS}=\vec s$. Так как $AD\parallel BC$ и $AD:BC=8:3$, то
$$\vec{AC}=\vec b+\frac38\vec d$$Из условий деления рёбер получаем координаты точек $M$ и $N$:
$$\vec{AM}=\frac25\vec s+\frac35\vec d,\qquad \vec{AN}=\vec b+\frac18\vec d$$Пусть $K$ делит отрезок $SC$ так, что $\vec{AK}=(1-t)\vec s+t\vec{AC}$. Поскольку $K$ лежит в плоскости $AMN$, существуют числа $\alpha$ и $\beta$, для которых $\vec{AK}=\alpha\vec{AM}+\beta\vec{AN}$. Сравнение коэффициентов при $\vec s$ и $\vec b$ даёт $\alpha=\frac52(1-t)$ и $\beta=t$.
Сравнивая коэффициенты при $\vec d$, получаем
$$\frac32(1-t)+\frac18t=\frac38t$$Отсюда $t=\frac67$. Так как $t=SK:SC$, то $SK:KC=\frac67:\frac17=6:1$.
Многогранник, содержащий вершину $S$, состоит из двух тетраэдров $SA MK$ и $SAKN$. Обозначим через $V_0=|\det(\vec s,\vec b,\vec d)|$ соответствующий определитель.
Объёмы этих тетраэдров равны
$$V_{SAMK}=\frac{3}{35}V_0,\qquad V_{SAKN}=\frac1{28}V_0$$Следовательно, объём многогранника около вершины $S$ равен
$$V_1=\frac{3}{35}V_0+\frac1{28}V_0=\frac{17}{140}V_0$$Площадь трапеции $ABCD$ равна $\frac{11}{8}$ площади треугольника $ABD$, поэтому объём всей пирамиды равен
$$V=\frac{11}{48}V_0$$Объём второго многогранника:
$$V_2=V-V_1=\frac{11}{48}V_0-\frac{17}{140}V_0=\frac{181}{1680}V_0$$Отношение объёмов после приведения к общему знаменателю:
$$V_1:V_2=\frac{17}{140}:\frac{181}{1680}=204:181$$$SK:KC=6:1$; отношение объёмов двух многогранников равно $204:181$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют параметр деления отрезка $SC$ и получают отношение $KC:SC$ вместо $SK:SC$.
Забывают, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Складывают объёмы тетраэдров без учёта коэффициентов, соответствующих долям рёбер.
Путают порядок многогранников в итоговом отношении.