Решение: Цилиндр и угол между прямыми
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = 1$, $CC_1 = 2\sqrt{2}$. а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение по шагам
9 шаговПоскольку $AC$ — диаметр основания, угол $ABC$ опирается на диаметр. По теореме Фалеса $\angle ABC=90^\circ$.
$$\angle ABC=90^\circ$$В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны $AB=1$ и $\angle ACB=30^\circ$. Сторона $AB$ лежит напротив угла $30^\circ$, поэтому гипотенуза в два раза больше этой стороны:
$$AC=2AB=2$$По теореме Пифагора найдём второй катет:
$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$Радиус основания цилиндра равен половине диаметра $AC$:
$$R=\frac{AC}{2}=1$$Введём координаты: $C=(0,0,0)$, $A=(2,0,0)$, $C_1=(0,0,2\sqrt{2})$. Так как $BC=\sqrt{3}$ и $\angle ACB=30^\circ$, можно взять $B=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$.
$$\overrightarrow{C_1A}=(2,0,-2\sqrt{2}),\qquad \overrightarrow{CB}=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$$Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых $AC_1$ и $BC$ и их длины:
$$\overrightarrow{C_1A}\cdot\overrightarrow{CB}=3,\qquad |\overrightarrow{C_1A}|=2\sqrt{3},\qquad |\overrightarrow{CB}|=\sqrt{3}$$Тогда косинус угла между прямыми равен:
$$\cos\varphi=\frac{3}{(2\sqrt{3})(\sqrt{3})}=\frac{1}{2}$$Следовательно, угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$.
$$\varphi=60^\circ$$Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по формуле $S_{\text{бок}}=2\pi Rh$, где $h=CC_1=2\sqrt{2}$.
$$S_{\text{бок}}=2\pi\cdot1\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$$а) Угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$. б) $S_{\text{бок}}=4\sqrt{2}\pi$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют теорему Фалеса и не устанавливают, что $\angle ABC=90^\circ$.
Путают диаметр $AC$ с радиусом основания.
В формуле площади боковой поверхности используют площадь основания $\pi R^2$ вместо $2\pi Rh$.
При вычислении угла между прямыми берут неверные направляющие векторы или забывают разделить скалярное произведение на произведение длин векторов.