Решение: Параллельность плоскости ребру
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF = BE = 4$.
а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.
Решение по шагам
9 шаговТак как все боковые рёбра равны, проекция вершины $S$ на основание является центром прямоугольника $ABCD$. Диагональ $BD=9$, поэтому $AC=9$. Из прямоугольного треугольника $ABD$ получаем:
$$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{81-25}=2\sqrt{14}$$Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(5,0,0)$, $D=(0,2\sqrt{14},0)$, $C=(5,2\sqrt{14},0)$. Центр основания имеет координаты $O=(\frac52,\sqrt{14},0)$. Так как $SA=5$, высота пирамиды равна:
$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{25-\frac{81}{4}}=\frac{\sqrt{19}}2$$Следовательно, $S=(\frac52,\sqrt{14},\frac{\sqrt{19}}2)$. Поскольку $BE:BD=4:9$, координаты точки $E$ равны:
$$E=B+\frac49(D-B)=\left(\frac{25}{9},\frac{8\sqrt{14}}9,0\right)$$Так как $AS=5$ и $SF=4$, то $AF=1$, то есть $F$ делит $AS$ в отношении $AF:AS=1:5$. Поэтому:
$$F=\frac15S=\left(\frac12,\frac{\sqrt{14}}5,\frac{\sqrt{19}}{10}\right)$$Для доказательства параллельности удобно использовать аффинные координаты относительно векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AS}$. Точки $C$, $E$, $F$ имеют координаты $(1,1,0)$, $(\frac59,\frac49,0)$ и $(0,0,\frac15)$ соответственно. Уравнение плоскости $CEF$ в этих координатах имеет вид:
$$5x-4y+5z=1$$Направляющий вектор ребра $SB$ в тех же аффинных координатах равен $(1,0,-1)$, поскольку переход от $S$ к $B$ увеличивает первую координату на $1$ и уменьшает третью на $1$. Нормаль плоскости $CEF$ имеет координаты $(5,-4,5)$, а её скалярное произведение с направляющим вектором ребра $SB$ в базисе $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}$ равно нулю после перехода к обычным координатам; непосредственно подстановка параметрического уравнения прямой, параллельной $SB$, в уравнение плоскости даёт постоянное значение. Следовательно, $SB\parallel(CEF)$.
Для нахождения точки $Q$ запишем точки ребра $SD$ в аффинных координатах. Если $Q$ делит $SD$ так, что $SQ:QD=t:(1-t)$, то координаты $Q$ имеют вид $(0,t,1-t)$. Подставим их в уравнение плоскости $CEF$:
$$5\cdot0-4t+5(1-t)=1$$Отсюда:
$$9t=4,\qquad t=\frac49$$Высота точки $Q$ над плоскостью $ABC$ равна координате $z$ точки $Q$. При движении от $S$ к $D$ высота уменьшается от $\frac{\sqrt{19}}2$ до нуля, поэтому:
$$d(Q,(ABC))=\left(1-\frac49\right)\frac{\sqrt{19}}2=\frac59\cdot\frac{\sqrt{19}}2=\frac{5\sqrt{19}}{18}$$\frac{5\sqrt{19}}{18}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют вторую сторону прямоугольника: $AD=\sqrt{9^2-5^2}=2\sqrt{14}$.
Путают отношения $SF=4$, $AS=5$ и получают неправильное положение точки $F$.
Используют долю $t=\frac49$ как высоту точки $Q$, хотя параметр отсчитывается от $S$ к $D$; высота равна $(1-t)SO$.
Доказывают только пересечение плоскости с прямой, но не обосновывают параллельность ребра $SB$ плоскости $CEF$.