Решение: Пирамида и пересечение отрезков
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL = 3LC$.
а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AN:NS$.
Решение по шагам
9 шаговВыберем точку $S$ за начало отсчёта и обозначим $\vec{SA}=\vec a$, $\vec{SB}=\vec b$, $\vec{SC}=\vec c$. Тогда
$$\vec{SM}=\frac{\vec a+\vec b}{2},\quad \vec{SK}=\frac{\vec c}{2},\quad \vec{SL}=\frac{\vec b+3\vec c}{4}$$Пусть $\vec{SR}=-r\vec b$, так как точка $R$ лежит на продолжении $SB$ за точку $S$. Точка $L$ лежит на прямой $RK$, поэтому для некоторых параметров она представима как $\vec{SL}=(1-u)\vec{SR}+u\vec{SK}$.
$$\frac{\vec b+3\vec c}{4}=-r(1-u)\vec b+\frac u2\vec c$$Сравнение коэффициентов при $\vec b$ и $\vec c$ даёт $u=\dfrac32$ и $r=\dfrac12$. Следовательно,
$$\vec{SR}=-\frac12\vec b$$Точка $N$ лежит на прямой $RM$ и на ребре $AS$. Запишем точку прямой $RM$ в виде $\vec{SX}=\vec{SR}+v(\vec{SM}-\vec{SR})$.
$$\vec{SX}=-\frac12\vec b+v\left(\frac12\vec a+\vec b\right)$$Для точки $N$ коэффициент при $\vec b$ должен быть равен нулю. Поэтому $v=\dfrac12$, и
$$\vec{SN}=\frac14\vec a$$Значит, точка $N$ делит отрезок $AS$ так, что $SN=\dfrac14 AS$, а $AN=\dfrac34 AS$.
$$AN:NS=\frac34:\frac14=3:1$$Рассмотрим произвольные точки на отрезках $MK$ и $NL$:
$$\vec{SX}=\frac{1-t}{2}\vec a+\frac{1-t}{2}\vec b+\frac t2\vec c$$и
$$\vec{SY}=\frac{1-w}{4}\vec a+\frac w4\vec b+\frac{3w}{4}\vec c$$Приравнивая коэффициенты при $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$, получаем $t=\dfrac34$ и $w=\dfrac12$. Оба параметра принадлежат отрезку $[0;1]$, поэтому точки пересечения лежат именно на отрезках $MK$ и $NL$.
$$\vec{SX}=\vec{SY}=\frac18\vec a+\frac18\vec b+\frac38\vec c$$Отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются; $AN:NS=3:1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задают направление вектора $\vec{SR}$: точка $R$ находится за точкой $S$, поэтому $\vec{SR}$ противоположен $\vec{SB}$.
Путают условие $BL=3LC$ и записывают $\vec{SL}=\dfrac{3\vec b+\vec c}{4}$ вместо $\vec{SL}=\dfrac{\vec b+3\vec c}{4}$.
Доказывают пересечение прямых $MK$ и $NL$, но не проверяют, что параметры пересечения находятся в отрезке $[0;1]$.