Пирамида и пересечение отрезков
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL = 3LC$.
а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AN:NS$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины рёбер и соответственно. На продолжении ребра за точку отмечена точка Прямые и пересекают рёбра и в точках и соответственно, причём а) Докажите, что отрезки и пересекаются. б) Найдите отношение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие векторы задают положения точек $M$, $K$ и $L$, если начало координат выбрать в точке $S$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите $\vec{SA}=\vec a$, $\vec{SB}=\vec b$, $\vec{SC}=\vec c$. Используйте условия $M$ и $K$ — середины рёбер и $BL:LC=3:1$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Из коллинеарности $R$, $K$, $L$ получите $\vec{SR}=-\dfrac12\vec b$. Затем из пересечения прямой $RM$ с $AS$ найдите $\vec{SN}=\dfrac14\vec a$, а для доказательства пересечения сравните параметрические уравнения прямых $MK$ и $NL$.