Тетраэдр и секущая плоскость
В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны $6$. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = AK = 4$.
а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5:4$.
б) Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильном тетраэдре все рёбра равны 6. На рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что а) Докажите, что плоскость делит тетраэдр на два многогранника, объёмы которых относятся как б) Найдите косинус угла между прямой и плоскостью | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите многогранник с вершинами $A$, $C$, $M$, $K$ и сравните его объём с объёмом исходного тетраэдра.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Тетраэдры $AMCK$ и $ABCD$ имеют общую вершину $C$, а площади их оснований можно связать с отношениями $\dfrac{AM}{AB}$ и $\dfrac{AK}{AD}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Имеем $\dfrac{V_{AMCK}}{V_{ABCD}}=\dfrac{AM}{AB}\cdot\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$. Для угла используйте векторы: нормаль к плоскости $CMK$ направлена как $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.