Решение: Тетраэдр и секущая плоскость
В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны $6$. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = AK = 4$.
а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5:4$.
б) Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $AB=AD=6$, а $AM=AK=4$, то точки $M$ и $K$ делят рёбра $AB$ и $AD$ в одинаковом отношении:
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$Плоскость $CMK$ отсекает от тетраэдра $ABCD$ тетраэдр $AMCK$. У этих тетраэдров общая вершина $C$, а соответствующие основания лежат в одной плоскости $ABD$. Поэтому отношение объёмов равно произведению отношений соответствующих линейных размеров основания:
$$\frac{V_{AMCK}}{V_{ABCD}}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AK}{AD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$$Объём второго многогранника равен $V_{ABCD}-V_{AMCK}=\frac{5}{9}V_{ABCD}$. Следовательно, объёмы двух частей относятся как $\frac{5}{9}:\frac{4}{9}=5:4$.
Обозначим $\vec{AB}=\mathbf b$, $\vec{AC}=\mathbf c$, $\vec{AD}=\mathbf d$. В правильном тетраэдре угол между любыми двумя рёбрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$, поэтому $\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf c\cdot\mathbf d=18$ и $|\mathbf b|=|\mathbf d|=6$.
Так как $\overrightarrow{CM}=\frac{2}{3}\mathbf b-\mathbf c$ и $\overrightarrow{CK}=\frac{2}{3}\mathbf d-\mathbf c$, вектор $\mathbf n=\mathbf b+\mathbf d$ перпендикулярен обоим этим векторам:
$$(\mathbf b+\mathbf d)\cdot\left(\frac{2}{3}\mathbf b-\mathbf c\right)=0,\quad (\mathbf b+\mathbf d)\cdot\left(\frac{2}{3}\mathbf d-\mathbf c\right)=0$$Следовательно, $\mathbf n=\mathbf b+\mathbf d$ является нормалью к плоскости $CMK$. Имеем:
$$\mathbf n\cdot\mathbf c=(\mathbf b+\mathbf d)\cdot\mathbf c=36,\quad |\mathbf n|^2=|\mathbf b+\mathbf d|^2=36+36+2\cdot18=108$$Косинус угла между прямой и плоскостью равен синусу угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости:
$$\cos\varphi=\sqrt{1-\frac{(\mathbf n\cdot\mathbf c)^2}{|\mathbf n|^2|\mathbf c|^2}}=\sqrt{1-\frac{36^2}{108\cdot36}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$а) Объёмы частей относятся как $5:4$. б) $\cos\varphi=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что отношение объёмов равно отношению только одной пары отрезков, не учитывая оба основания.
Перепутать косинус угла между прямой и плоскостью с косинусом угла между прямой и нормалью к плоскости.
Забыть, что отношение объёмов двух частей равно $\frac{5}{9}:\frac{4}{9}$, а не $\frac{4}{9}:1$.