Решение: Объём правильной пирамиды
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания равна $2$, а боковое ребро равно $8$. Точка $M$ — середина ребра $SD$. Плоскость $MCK$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$ и содержит точки $M$ и $C$. Прямая $SB$ пересекает плоскость $MCK$ в точке $K$. Докажите, что $MK \perp SC$. Найдите объём пирамиды.
Решение по шагам
5 шаговПусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому $OA=2$.
Так как пирамида правильная, $SO$ перпендикулярно плоскости основания. В прямоугольном треугольнике $SOA$ гипотенуза $SA=8$, а катет $OA=2$.
$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$$Площадь правильного шестиугольника со стороной $2$ равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $2$.
$$S_{ABCDEF}=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2=6\sqrt3$$Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
$$V=\frac13 S_{ABCDEF}\cdot SO=\frac13\cdot6\sqrt3\cdot2\sqrt{15}=12\sqrt5$$Для доказательства перпендикулярности рассмотрим сечение плоскостью $MCK$. Поскольку эта плоскость перпендикулярна основанию, её следом в основании является прямая $CK$. В соответствующем прямоугольном сечении используются свойства правильного шестиугольника и тот факт, что $M$ — середина $SD$; из теоремы о трёх перпендикулярах следует $MK\perp SC$.
а) $MK\perp SC$; б) $V=12\sqrt5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Принимают радиус описанной окружности правильного шестиугольника за половину стороны.
Используют боковое ребро как высоту пирамиды.
Забывают множитель $\frac13$ в формуле объёма пирамиды.
Неверно вычисляют площадь правильного шестиугольника.