Решение: Призма и угол между прямой и плоскостью
В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$, причём $AB=BC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.
а) Докажите, что $KM\perp AC$. б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB=6$, $AC=8$ и $AA_1=3$.
Решение по шагам
8 шаговТак как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота из вершины $B$ к основанию $AC$ является также медианой. Поэтому её длина равна
$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$$Введём координаты: $A=(-4,0,0)$, $C=(4,0,0)$, $B=(0,2\sqrt{5},0)$. Так как призма прямая и $AA_1=3$, получаем $A_1=(-4,0,3)$ и $B_1=(0,2\sqrt{5},3)$.
Из условия $AM:MC=1:3$ и $AC=8$ следует $AM=2$. Поэтому $M=(-2,0,0)$. Точка $K$ — середина $A_1B_1$, значит
$$K=\left(\frac{-4+0}{2},\frac{0+2\sqrt{5}}{2},\frac{3+3}{2}\right)=(-2,\sqrt{5},3)$$Направляющий вектор прямой $KM$ равен
$$\overrightarrow{MK}=K-M=(0,\sqrt{5},3)$$Направляющий вектор прямой $AC$ равен $\overrightarrow{AC}=(8,0,0)$. Их скалярное произведение равно нулю, следовательно, $KM\perp AC$.
Для нахождения угла между $KM$ и плоскостью $ABB_1$ найдём нормаль к этой плоскости. В плоскости лежат векторы $\overrightarrow{AB}=(4,2\sqrt{5},0)$ и $\overrightarrow{BB_1}=(0,0,3)$. Нормальный вектор можно взять в виде $\vec n=(\sqrt{5},-2,0)$.
Пусть $\alpha$ — угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$. Тогда синус этого угла равен модулю скалярного произведения направляющего вектора прямой и единичного нормального вектора плоскости:
$$\sin\alpha=\frac{|\overrightarrow{MK}\cdot\vec n|}{|\overrightarrow{MK}|\,|\vec n|}=\frac{|0\cdot\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot(-2)+3\cdot0|}{\sqrt{14}\cdot3}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}$$Следовательно,
$$\alpha=\arcsin\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}\approx23{,}5^\circ$$а) $KM\perp AC$. б) Угол между $KM$ и плоскостью $ABB_1$ равен $\alpha=\arcsin\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}\approx23{,}5^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и нормалью к плоскости.
Забывают, что для угла между прямой и плоскостью используется синус, а не косинус угла между направляющим и нормальным векторами.
Неверно находят координаты точки $M$: из отношения $AM:MC=1:3$ следует $AM=2$, а не $AM=6$.
Не учитывают, что в прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию.