Ответ: Призма и угол между прямой и плоскостью
а) $KM\perp AC$. б) Угол между $KM$ и плоскостью $ABB_1$ равен $\alpha=\arcsin\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}\approx23{,}5^\circ$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$, причём $AB=BC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.
а) Докажите, что $KM\perp AC$. б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB=6$, $AC=8$ и $AA_1=3$.
Где здесь ошибаются
Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и нормалью к плоскости.
Забывают, что для угла между прямой и плоскостью используется синус, а не косинус угла между направляющим и нормальным векторами.
Неверно находят координаты точки $M$: из отношения $AM:MC=1:3$ следует $AM=2$, а не $AM=6$.
Не учитывают, что в прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию.