Решение: Сечение правильной пирамиды
Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$. Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$, и найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны $6$.
Решение по шагам
11 шаговТак как пирамида правильная, её вершина $S$ проецируется в центр квадрата $ABCD$. Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно $3\sqrt{2}$. Поэтому высота пирамиды:
$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}$$Введём координаты: $A(-3,-3,0)$, $B(3,-3,0)$, $C(3,3,0)$, $D(-3,3,0)$, $S(0,0,3\sqrt{2})$.
Поскольку $M$ — середина $SA$, а $SN:NB=1:2$, получаем координаты точек:
$$M\left(-\frac32,-\frac32,\frac{3\sqrt2}{2}\right),\quad N\left(1,-1,2\sqrt2\right)$$Направляющий вектор прямой $SD$ и два вектора плоскости $CMN$ имеют вид:
$$\overrightarrow{SD}=(-3,3,-3\sqrt2),\quad \overrightarrow{CM}=\left(-\frac92,-\frac92,\frac{3\sqrt2}{2}\right),\quad \overrightarrow{CN}=(-2,-4,2\sqrt2)$$Найдём векторное произведение двух направляющих векторов плоскости $CMN$:
$$\overrightarrow{CM}\times\overrightarrow{CN}=(-3\sqrt2,6\sqrt2,9)$$Скалярное произведение полученного нормального вектора на направляющий вектор прямой $SD$ равно нулю:
$$(-3\sqrt2,6\sqrt2,9)\cdot(-3,3,-3\sqrt2)=18+36-54=0$$Следовательно, прямая $SD$ перпендикулярна нормали к плоскости $CMN$, то есть прямая $SD$ параллельна этой плоскости.
Плоскость сечения проходит через точки $C$, $M$, $N$. Так как $M\in SA$, $N\in SB$, а $C$ — вершина основания, сечение является треугольником $CMN$.
Площадь треугольника найдём через векторное произведение:
$$S_{CMN}=\frac12\left|\overrightarrow{CM}\times\overrightarrow{CN}\right|$$Вычислим длину векторного произведения:
$$\left|\overrightarrow{CM}\times\overrightarrow{CN}\right|=\sqrt{(-3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2+9^2}=\sqrt{18+72+81}=\sqrt{171}=3\sqrt{19}$$Таким образом, площадь сечения равна:
$$S_{CMN}=\frac{3\sqrt{19}}{2}$$Плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$, а площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{19}}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют высоту правильной пирамиды и считают её равной 6.
Используют отношение $SN:NB=1:2$ как отношение координат точки $N$ от начала координат.
Забывают, что площадь треугольника через векторное произведение равна половине его длины.
Проверяют параллельность прямой и плоскости через перпендикулярность направляющих векторов, хотя нужно проверить перпендикулярность направляющего вектора нормали плоскости.