Сечение треугольной пирамиды
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На рёбрах и треугольной пирамиды отмечены точки и соответственно, причём . Точки и середины рёбер и соответственно. а) Докажите, что точки , , и лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите положения точек через аффинные координаты относительно вершин пирамиды. Какое уравнение плоскости проходит через $P$, $Q$ и $M$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите $B$ за начало координат, а векторы $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BD}$ используйте как базис. Тогда $M=\frac{2}{3}A$, $N=\frac{2}{3}C$, $P=\frac{A+D}{2}$, $Q=\frac{C+D}{2}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Уравнение плоскости имеет вид $x+y+\frac{z}{3}=\frac{2}{3}$ в координатах по векторам $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BD}$. Для объёмов разбейте часть около вершины $D$ на два тетраэдра с общей диагональю $PN$.