Решение: Сечение правильной шестиугольной пирамиды
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите высоту пирамиды, если $AB = 8$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $45^\circ$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $O$ центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, а через $h$ высоту пирамиды. Введём координаты: $O$ — начало координат, основание лежит в плоскости $z=0$, а вершина $S$ имеет координаты $(0,0,h)$. Пусть радиус описанной окружности основания равен $R$. Для правильного шестиугольника $R=AB=8$.
Выберем координаты вершин основания: $A=(R,0,0)$, $B=\left(\dfrac R2,\dfrac{\sqrt3 R}{2},0\right)$, $C=\left(-\dfrac R2,\dfrac{\sqrt3 R}{2},0\right)$, $D=(-R,0,0)$. Так как $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SD$, получаем $M=\left(\dfrac R2,0,\dfrac h2\right)$ и $K=\left(-\dfrac R2,0,\dfrac h2\right)$.
Направляющий вектор прямой $BM$ равен $\overrightarrow{BM}=\left(0,-\dfrac{\sqrt3 R}{2},\dfrac h2\right)$. Аналогично, $\overrightarrow{CK}=\left(0,-\dfrac{\sqrt3 R}{2},\dfrac h2\right)$. Следовательно, прямые $BM$ и $CK$ параллельны.
Прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости, поскольку они параллельны. Более того, эта плоскость содержит также прямую $BC$, так как точки $B$ и $C$ принадлежат ей. Поэтому искомая плоскость — плоскость $BMC$.
Для нахождения угла между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной $BC$. В этом сечении плоскость $BMC$ задаётся направлением $BM$, а плоскость основания — горизонтальным направлением.
Горизонтальная составляющая вектора $\overrightarrow{BM}$ имеет длину $\dfrac{\sqrt3 R}{2}$, а вертикальная составляющая равна $\dfrac h2$. Поэтому угол $\alpha$ между плоскостью $BMC$ и основанием удовлетворяет равенству $\tan\alpha=\dfrac{h/2}{\sqrt3 R/2}=\dfrac{h}{\sqrt3 R}$.
По условию $\alpha=45^\circ$, поэтому $1=\tan45^\circ=\dfrac{h}{\sqrt3 R}$. Следовательно, $h=\sqrt3 R$. Так как $R=AB=8$, высота пирамиды равна $h=8\sqrt3$.
Прямые $BM$ и $CK$ параллельны, поэтому лежат в одной плоскости; высота пирамиды равна $8\sqrt3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен половине его стороны.
Использовать угол между прямой $BM$ и основанием вместо угла между плоскостями без обоснования сечения.
Забыть, что точки $M$ и $K$ являются серединами рёбер, поэтому их высоты над основанием равны $\dfrac h2$.