Решение: Сечение правильной треугольной пирамиды
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5:1$, считая от точки $C$, и найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.
Решение по шагам
6 шаговПоскольку точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SAB$. Поэтому $MN\parallel AB$ и $MN=\dfrac{AB}{2}=3$.
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания и содержит прямую $MN$, параллельную $AB$. Поэтому линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания параллельна $AB$.
Обозначим через $P$ точку пересечения плоскости $\alpha$ с медианой $CE$, а через $F$ и $G$ — точки пересечения её линии с рёбрами $AC$ и $BC$. Тогда $FG\parallel AB$.
Пусть $E$ — середина $AB$. В треугольнике $CAE$ отрезок $PF$ параллелен $AE$, поэтому треугольники $CPF$ и $CAE$ подобны. Так как $F$ лежит на $AC$ и плоскость проходит через середину боковых рёбер, получаем $AF=\dfrac{AC}{6}$. Следовательно, $CF=\dfrac{5}{6}AC$, а из подобия $\dfrac{CP}{CE}=\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{5}{6}$. Значит, $PE=\dfrac{1}{6}CE$ и $CP:PE=5:1$.
Найдём боковую сторону сечения $MF$. В правильной треугольной пирамиде высота равна $6$, поскольку расстояние от центра основания до вершины основания равно $2\sqrt{3}$, а $SA^2=48$. В координатах можно взять $A=(-3,0,0)$, $C=(0,3\sqrt{3},0)$, $S=(0,\sqrt{3},6)$. Тогда $M=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},3)$, а $F=(-\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$, поэтому $MF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
По симметрии $GN=MF=\sqrt{10}$. В основании $FG$ — отрезок, параллельный $AB$, расположенный на расстоянии $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от $AB$. Его длина равна $5$. Поэтому сечение является четырёхугольником $MNGF$, и его периметр равен $MN+NG+GF+FM=3+\sqrt{10}+5+\sqrt{10}=8+2\sqrt{10}$.
$CP:PE=5:1$; периметр сечения равен $8+2\sqrt{10}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что плоскость сечения проходит через середину медианы основания.
Забыть, что $MN$ — средняя линия треугольника $SAB$ и поэтому $MN=3$.
Неверно определить фигуру сечения: это четырёхугольник, а не треугольник.
Использовать боковое ребро $SA=4\sqrt{3}$ как сторону сечения без вычисления длины отрезка $MF$.