Решение: Сечение правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1$, а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}$.
а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.
Решение по шагам
9 шаговВыберем систему координат: $O$ — начало координат, основание лежит в плоскости $z=0$, а ось $Oz$ направлена вдоль $SO$. Так как $AB=2$, можно взять $A(1,1,0)$, $B(-1,1,0)$, $C(-1,-1,0)$, $D(1,-1,0)$. Тогда $S(0,0,\sqrt{14})$.
Так как $M$ — середина $SC$, получаем $M\left(-\frac12,-\frac12,\frac{\sqrt{14}}2\right)$. Из условия $BK:KC=3:1$ следует, что $K$ находится на расстоянии $\frac34BC$ от точки $B$, поэтому $K\left(-1,-\frac12,0\right)$.
Плоскость $OMK$ проходит через начало координат, поэтому её нормаль можно найти как векторное произведение $\overrightarrow{OM}\times\overrightarrow{OK}$. Получаем уравнение плоскости $OMK$.
$$14x-28y-\sqrt{14}z=0$$Направляющий вектор прямой $SA$ равен $\overrightarrow{SA}=(1,1,-\sqrt{14})$. Его скалярное произведение с нормалью плоскости $OMK$, $\vec n=(14,-28,-\sqrt{14})$, равно нулю.
$$\vec n\cdot\overrightarrow{SA}=14-28+14=0$$Следовательно, направляющий вектор прямой $SA$ перпендикулярен нормали плоскости $OMK$, поэтому $SA\parallel(OMK)$. Пункт а) доказан.
Любую точку грани $SAD$ представим в виде $P=S+u(A-S)+v(D-S)$, где $u\ge 0$, $v\ge 0$, $u+v\le 1$. Тогда $P=(u+v,u-v,\sqrt{14}(1-u-v))$.
Подставим координаты точки $P$ в уравнение плоскости $OMK$.
$$14(u+v)-28(u-v)-14(1-u-v)=0$$После упрощения получаем $56v-14=0$, то есть $v=\frac14$. Поэтому сечение грани $SAD$ — отрезок, соединяющий точку на $SD$ при $u=0$ и точку на $AD$ при $u+v=1$, то есть при $u=\frac34$.
Концы отрезка имеют координаты $P_1\left(\frac14,-\frac14,\frac{3\sqrt{14}}4\right)$ и $P_2\left(1,\frac12,0\right)$. Его длина равна
$$P_1P_2=\sqrt{\left(\frac34\right)^2+\left(\frac34\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{14}}4\right)^2}=\sqrt{\frac{891}{8}}=\frac{3\sqrt{198}}4$$Длина отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$, равна $\frac{3\sqrt{198}}4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить положение точки $K$: при отношении $BK:KC=3:1$ точка $K$ делит отрезок $BC$ не пополам.
Забыть, что в правильной пирамиде высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания.
При описании сечения грани $SAD$ не учесть ограничения $u\ge 0$, $v\ge 0$, $u+v\le 1$.
Найти только уравнение линии пересечения, но не вычислить длину отрезка внутри грани.