Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|$ либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
- 1
Положим $c=|a-3|$. Тогда $c\ge0$, а правая часть уравнения имеет вид $|x-c|+|x+c|=2\max(|x|,c)$. Обозначим $y=|x|$, где $y\ge0$.$$y^4+c^2=2\max(y,c)$$
- 2
Если $0\le y\le c$, то получаем $y^4=c(2-c)$. Для существования такого решения необходимо $0\le c\le2$ и $c(2-c)\le c^4$. При $c>0$ это равносильно $c^3+c-2\ge0$, то есть $c\ge1$. Поэтому в этой области решения возникают при $1\le c\le2$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}(x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=3x+a\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из второго уравнения выразим $y$ и найдём область допустимых значений первого уравнения:$$y=3x+a,\qquad x-y+3=3-2x-a\geq 0$$
- 2
Произведение равно нулю, поэтому возможны два случая. В первом случае корень равен нулю:$$x-y+3=0\Rightarrow 3-2x-a=0\Rightarrow x_0=\dfrac{3-a}{2}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} y=(a+2)x^2+2ax+a-2,\\ y^2=x^2 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Из уравнения $y^2=x^2$ следует, что $y=x$ или $y=-x$.
- 2
При $y=x$ получаем квадратное уравнение относительно $x$:$$(a+2)x^2+(2a-1)x+a-2=0$$
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left|x^2+a^2-6x+4a\right|=2x-2a$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Так как левая часть неотрицательна, необходимо $2x-2a\geqslant0$, то есть $x\geqslant a$.
- 2
Если выражение под модулем неотрицательно, получаем первое квадратное уравнение:$$x^2+a^2-6x+4a=2x-2a\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+a^2+6a=0.$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+2\left(x+\dfrac{4}{x}\right)-25a+10=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Пусть $t=x+\dfrac{4}{x}$, где $x\ne0$. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим или из исследования функции получаем область значений: $t\in(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)$.
- 2
Если $a=0$, исходное уравнение принимает вид $2t+10=0$, то есть $t=-5$. Уравнение $x+\dfrac{4}{x}=-5$ имеет два различных корня, поэтому $a=0$ подходит.
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(4x+|x-a|-|3x+1|\right)^2-(a+1)\left(4x+|x-a|-|3x+1|\right)+1=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Обозначим $y=4x+|x-a|-|3x+1|$. Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению относительно $y$:$$y^2-(a+1)y+1=0$$
- 2
Его дискриминант равен:$$D=(a+1)^2-4=(a-1)(a+3)$$
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $\left(2x+a+1+\tg x\right)^2=\left(2x+a-1-\tg x\right)^2$ имеет единственное решение на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Учтём область определения: значения $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ не входят в область определения функции $\tg x$, поэтому фактически рассматриваются значения $x\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$.
- 2
Обозначим $A=2x+a+1+\tg x$, $B=2x+a-1-\tg x$. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности $A=B$ или $A=-B$.$$A^2=B^2\Longleftrightarrow(A-B)(A+B)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $\left(2x+a+1-\tan x\right)^2=\left(2x+a-1+\tan x\right)^2$ имеет единственное решение на отрезке $[0;\pi]$.
- 1
Обозначим $A=2x+a+1-\tan x$ и $B=2x+a-1+\tan x$. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности $A=B$ или $A=-B$.$$A^2=B^2\Longleftrightarrow (A-B)(A+B)=0$$
- 2
Решим первое уравнение совокупности:$$2x+a+1-\tan x=2x+a-1+\tan x\Longleftrightarrow \tan x=1$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}(x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=ax+a\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Обозначим $t=x-y+3$. Тогда первое уравнение системы имеет вид $(x^2-5x-y+3)\sqrt{t}=0$, поэтому необходимо рассмотреть два случая: $t=0$ или $x^2-5x-y+3=0$, при этом $t\ge0$.$$t=x-y+3\ge0$$
- 2
Случай 1: $x-y+3=0$. Тогда $y=x+3$. С учётом $y=ax+a$ получаем $(1-a)x=a-3$. При $a\ne1$ это даёт одну точку, а при $a=1$ решений нет.$$x=\dfrac{a-3}{1-a}=\dfrac{3-a}{a-1}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x+1)\cdot|x+1|=2x-a$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Введём замену $y=x+1$. Тогда $x=y-1$, и исходное уравнение принимает вид$$y|y|=2y-2-a$$
- 2
Выразим параметр через $y$: $a=2y-2-y|y|$. Рассмотрим два случая.
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
- 1
В условии указано требование найти значения параметра, при которых система имеет ровно два различных решения.
- 2
Однако формулы самой системы уравнений в распознанном тексте и на предоставленном изображении отсутствуют. Поэтому определить множество решений и исследовать зависимость от параметра невозможно.
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2x+\ln(x+2a))^2=(2x-\ln(x+2a))^2$ имеет единственный корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Область допустимых значений исходного уравнения задаётся условием $x+2a>0$.
- 2
Применим формулу разности квадратов:$$(2x+\ln(x+2a))^2-(2x-\ln(x+2a))^2=8x\ln(x+2a)=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.
- 1
Для существования выражения необходимо $4x-1>0$, то есть $x>\frac14$. С учётом условия задачи рассматриваем $x\in\left(\frac14;3\right]$.
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях: $\ln(4x-1)=0$ или $\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$.
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a$ имеет четыре различных корня.
- 1
Правая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной:$$2x+2a\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -a$$
- 2
Раскрываем модуль. Получаем две совокупности условий:$$\begin{cases}x^2-6x+a^2-4a=2x+2a,\\x\ge -a\end{cases}\quad\text{или}\quad\begin{cases}x^2-6x+a^2-4a=-2x-2a,\\x\ge -a\end{cases}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2+a^2-x-7a=|7x-a|$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Разобьём уравнение по знаку выражения под модулем.$$x<\dfrac a7:\quad x^2+6x+a^2-8a=0;\qquad x\geq\dfrac a7:\quad x^2-8x+a^2-6a=0$$
- 2
Для левой ветви дискриминант равен $4\bigl(25-(a-4)^2\bigr)$, поэтому два действительных корня возникают при $-1<a<9$. Для правой ветви дискриминант равен $4\bigl(32-(a-3)^2\bigr)$, поэтому два действительных корня возникают при…
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} x \le 2a+6,\\ 6x \ge x^2+a^2,\\ x+a>0 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$.
- 1
Из второго неравенства имеем$$a^2\le 6x-x^2=9-(x-3)^2$$
- 2
При $x\in[1;2]$ функция $6x-x^2$ возрастает, поэтому её максимальное значение равно $8$ при $x=2$. Следовательно, необходимое условие существования решения: $a^2\le8$, то есть $-2\sqrt2\le a\le2\sqrt2$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x^2-x)a^2-(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Разложим выражение на множители:$$x^2-x=x(x-1),\quad x^4-x^3-x+1=(x-1)^2(x^2+x+1),\quad -x^3+x^2=-x^2(x-1)$$
- 2
Тогда исходное уравнение принимает вид$$(x-1)\left(ax^2?\right)$$
Ещё 9 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} \left(xy^2-3xy-3y+9\right)\sqrt{3-x}=0,\\ y=ax \end{cases} $$ имеет ровно три различных решения.
- 1
Так как квадратный корень должен быть определён, необходимо $3-x\ge 0$, то есть $x\le 3$. Разложим первый множитель:$$xy^2-3xy-3y+9=y(xy-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3)$$
- 2
Произведение равно нулю, поэтому возможны два случая: $y=3$ или $xy=3$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x+1)a^2+x(x+1)^2a+x^4+2x^3-2x-1=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Разложим свободную часть уравнения:$$x^4+2x^3-2x-1=(x+1)^2(x-1)$$
- 2
Тогда исходное уравнение принимает вид:$$(x+1)\left(a^2+ax(x+1)+(x+1)(x-1)\right)=0$$
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)$ имеет единственное решение.
- 1
Выполним замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом действительном $x$, то $t > 0$. Кроме того, каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x$.$$4^x = (2^x)^2 = t^2$$
- 2
Подставим замену в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть.$$t^2 + (a-6)t - (2+3|a|)t^2 - (a-6)(3|a|+2)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении