Решение: Система с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
\left(xy^2-3xy-3y+9\right)\sqrt{3-x}=0,\\
y=ax
\end{cases}
$$
имеет ровно три различных решения.
Решение по шагам
6 шаговТак как квадратный корень должен быть определён, необходимо $3-x\ge 0$, то есть $x\le 3$. Разложим первый множитель:
$$xy^2-3xy-3y+9=y(xy-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3)$$Произведение равно нулю, поэтому возможны два случая: $y=3$ или $xy=3$.
В первом случае с учётом $y=ax$ получаем $ax=3$. При $a=0$ решений нет, а при $a\ne0$ имеем $x=\dfrac{3}{a}$. Условие $x\le3$ выполняется при $a<0$ или $a\ge1$.
Во втором случае $xy=3$. Подставляя $y=ax$, получаем $ax^2=3$. Два различных действительных корня существуют только при $a>0$. Отрицательный корень всегда удовлетворяет условию $x\le3$, а положительный корень удовлетворяет ему тогда и только тогда, когда:
$$\sqrt{\frac{3}{a}}\le3\quad\Longleftrightarrow\quad a\ge\frac13$$Следовательно, два решения из случая $xy=3$ возникают при $a\ge\dfrac13$. Чтобы добавить третье решение из случая $y=3$, необходимо $a\ge1$.
При $a=3$ решение из случая $y=3$ совпадает с одним из решений из случая $xy=3$: это точка $(1,3)$. Поэтому при $a=3$ имеется только два различных решения. При остальных $a\ge1$ получаются ровно три различных решения.
$a\in[1;3)\cup(3;+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения корня $x\le3$.
Считать совпадающие решения из случаев $y=3$ и $xy=3$ различными.
Учитывать только условие $a>0$ и не проверять, когда положительный корень удовлетворяет ограничению $x\le3$.