Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 15 + 2 = 17$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 17$. Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, значит треугольник $ADH$ прямоугольный.

Так как $BH$ — высота к гипотенузе прямоугольного треугольника $ABC$, справедлива теорема о катете:$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения:$$AB^2 = 27 \cdot 3 = 81$$

Так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах $B$ общие, а соответствующие углы при пересечении параллельных прямых равны. Следовательно, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$$

Найдём угол $A$ треугольника:$$A = 180° - B - C = 180° - 62° - 88° = 30°$$

По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив оси вдоль перпендикулярных сторон $BA$ и $BC$. Пусть координаты точки $H$ имеют вид $(x,y)$.$$BH^2=x^2+y^2$$

Окружность с диаметром $BH$ пересекает ось $BA$ в точке $P$, а ось $BC$ — в точке $K$. Поэтому координаты этих точек можно записать как $P=(x,0)$ и $K=(0,y)$.$$PK^2=(x-0)^2+(0-y)^2=x^2+y^2$$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle ABM = \angle CDM$$

Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны.$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$$

Так как $AA_1$ — высота треугольника, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $B$, $A_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AA_1B = 90^\circ$.

Так как $BB_1$ — высота, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $A$, $B_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AB_1B = 90^\circ$.

Поскольку $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, имеем $AA_1 \perp BC$. Точка $A_1$ лежит на стороне $BC$, поэтому $AA_1 \perp A_1C$ и $\angle AA_1C = 90^\circ$.$$AA_1 \perp A_1C \Rightarrow \angle AA_1C=90^\circ$$

Поскольку $CC_1$ — высота, имеем $CC_1 \perp AB$. Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$, поэтому $CC_1 \perp AC_1$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$.$$CC_1 \perp AC_1 \Rightarrow \angle AC_1C=90^\circ$$

Обозначим $\angle ABC=\beta$. Поскольку $CC_1$ является высотой, то $CC_1\perp AB$.$$CC_1 \perp AB$$

Угол между прямыми $BC$ и $AB$ равен $\beta$, поэтому угол между прямыми $BC$ и перпендикулярной к $AB$ прямой $CC_1$ равен дополнению угла $\beta$ до $90^\circ$.$$\angle BCC_1=90^\circ-\beta$$

Пусть внутренняя общая касательная касается первой окружности в точке $A$, второй — в точке $B$, а отрезок $PQ$ пересекает касательную в точке $X$. Для внутренней общей касательной точка $X$ лежит между $P$ и $Q$.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $PA \perp AB$ и $QB \perp AB$. Поэтому треугольники $PAX$ и $QBX$ прямоугольные.

Так как $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $A_1$ и $B$ лежат на прямой $BC$, получаем $AA_1 \perp A_1B$, то есть $\angle AA_1B = 90^\circ$.$$\angle AA_1B = 90^\circ$$

Так как $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $B_1$ и $A$ лежат на прямой $AC$, получаем $BB_1 \perp AB_1$, то есть $\angle AB_1B = 90^\circ$.$$\angle AB_1B = 90^\circ$$

Так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, то $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, углы $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ прямые.$$\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ$$

Четырёхугольник $AA_1BB_1$ вписан в окружность, так как сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Поскольку $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, имеем $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$. Так как угол $ABC$ тупой, точки $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ за точку $B$.

Из свойств перпендикуляров следует, что отрезок, соединяющий основания высот, параллелен третьей стороне: $A_1C_1 \parallel AC$.

Точки $K$, $A$, $D$ лежат на одной прямой, а точки $K$, $B$, $C$ — на другой. Поэтому угол $KAB$ является смежным с углом $DAB$, а угол $KCD$ — смежным с углом $BCD$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому его противоположные углы supplementary:$$\angle DAB+\angle BCD=180^\circ$$

Так как $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точка $B_1$ лежит на $AC$, угол $BB_1C$ является прямым.$$\angle BB_1C = 90^\circ$$

Так как $CC_1$ — высота треугольника $ABC$, то $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $C_1$ лежит на $AB$, угол $BC_1C$ также является прямым.$$\angle BC_1C = 90^\circ$$

Так как $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точка $A_1$ лежит на $BC$, получаем прямой угол $\angle AA_1C = 90^\circ$.$$AA_1 \perp A_1C \Rightarrow \angle AA_1C = 90^\circ$$

Так как $CC_1$ — высота, то $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $C_1$ лежит на $AB$, получаем $\angle AC_1C = 90^\circ$.$$CC_1 \perp AC_1 \Rightarrow \angle AC_1C = 90^\circ$$

Пусть $O$ — центр окружности. Радиус окружности равен половине диаметра:$$OB = OC = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$$

Так как $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Точка $M$ — середина отрезка $AD$, следовательно, $AD$ является диаметром этой окружности.

Введём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(8,0)$ и $N=(30,0)$. Середина отрезка $MN$ имеет координаты $(19,0)$, поэтому центр окружности имеет вид $O=(19,k)$.$$R^2=(19-8)^2+k^2=121+k^2$$

Так как $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin\angle BAC=\dfrac{1}{4}$. Направляющий единичный вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4},\dfrac14\right)$.

Расположим начало координат в точке $A$, а ось $x$ направим вдоль стороны $AC$. Тогда $M=(12,0)$ и $N=(21,0)$. Середина отрезка $MN$ имеет координаты $\left(\dfrac{33}{2},0\right)$, поэтому центр окружности имеет вид…

Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки $M$:$$R^2=\left(\frac{33}{2}-12\right)^2+y^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2+y^2$$