Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Так как $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.

По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-61^\circ-89^\circ=30^\circ$$

По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ равноудалены от точки $M$, поэтому они лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD = 2R$$

Угол $ACD$ прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AD$.$$\angle ACD = 90^\circ$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия следует отношение сходственных сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия соответствующих сторон получаем:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$$

Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 24 + 2 = 26$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 26$. Треугольник $ADH$ прямоугольный, так как $AH$ — высота ромба.$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BCA$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BCA$$

Запишем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{13}{65} = \frac{1}{5}$$

Так как $MN \parallel AC$, углы треугольников $BMN$ и $BAC$ попарно равны. Следовательно, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$$

Из отношения $CF : DF = 3 : 1$ следует, что $CD$ состоит из четырёх равных частей, поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{3}{4}$.

Так как $EF \parallel AD \parallel BC$, отрезки, параллельные основаниям трапеции, изменяются линейно. При переходе от основания $BC$ к основанию $AD$ длина увеличивается на $AD - BC$.

Так как $ABCD$ — ромб, все его стороны равны. Поэтому сторона $CD$ равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 24 + 6 = 30$$

Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, поэтому треугольник $ADH$ прямоугольный. В нём $AD = 30$, а $DH = 24$.$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$c=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26$$

Площадь треугольника через катеты равна площади через гипотенузу и высоту:$$\dfrac{10\cdot24}{2}=\dfrac{26h}{2}$$

Основания трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

Поскольку $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ в сумме равны $90^\circ$. Следовательно, угол $AFB$ прямой.$$\angle FAB + \angle ABF = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника.$$c = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39$$

Выразим площадь треугольника двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту, проведённую к гипотенузе.$$\dfrac{15 \cdot 36}{2} = \dfrac{39h}{2}$$

Расположим начало координат в точке $B$, а оси направим вдоль катетов $BA$ и $BC$. Пусть $H=(x;y)$.

Так как окружность имеет диаметр $BH$, для любой её точки $X=(X;Y)$ выполняется условие перпендикулярности $\overrightarrow{XB}$ и $\overrightarrow{XH}$:$$X^2+Y^2-xX-yY=0$$

По теореме о катете квадрат катета $AB$ равен произведению гипотенузы $AC$ на проекцию катета $AB$ на гипотенузу, то есть на отрезок $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения.$$AB^2 = 24 \cdot 6 = 144$$

Обозначим катеты через $a = 21$ и $b = 28$, гипотенузу через $c$, а высоту к гипотенузе через $h$.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$$

Так как $BH$ — диаметр окружности, то углы $BPH$ и $BKH$, опирающиеся на этот диаметр, прямые:$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$

Точки $P$ и $B$ лежат на стороне $AB$, а точки $K$ и $B$ — на стороне $CB$. Поэтому $BP \perp PH$ и $BK \perp KH$.

Рассмотрим треугольники $MAB$ и $MCD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальный. Кроме того, углы $MAB$ и $MCD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольники $MAB$ и $MCD$ подобны. Соответствующие стороны пропорциональны:$$\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{14}{42} = \dfrac{1}{3}$$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $ABM$ и $CDM$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$. Следовательно, треугольники подобны.$$🔺AMB \sim 🔺CMD$$

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$$

Расположим начало координат в точке $B$, а оси направим вдоль катетов $BA$ и $BC$. Пусть $BA=a$, $BC=c$. Тогда точка $H$ имеет координаты$$H\left(\dfrac{ac^2}{a^2+c^2},\dfrac{a^2c}{a^2+c^2}\right)$$

Уравнение окружности с диаметром $BH$, проходящей через начало координат, имеет вид$$x^2+y^2-x_Hx-y_Hy=0$$