Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Расстояние до хорды

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 40$, $CD = 42$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 21.

1. 1
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $20$.$$\frac{AB}{2}=\frac{40}{2}=20$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=21^2+20^2=441+400=841,\quad R=29$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 3$, $AC = 12$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.$$AB^2 = AH \cdot AC$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$AB^2 = 3 \cdot 12 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота и окружность

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…

1. 1
   Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$. Ось $Ox$ направим вдоль $BA$, а ось $Oy$ — вдоль $BC$. Пусть $H=(x,y)$. Тогда длина высоты равна$$BH=\sqrt{x^2+y^2}$$
2. 2
   Окружность с диаметром $BH$ состоит из точек $X$, для которых угол $BXH$ прямой. Для точки $P$, лежащей на оси $Ox$, имеем $P=(p,0)$. Условие перпендикулярности векторов $\overrightarrow{BP}$ и $\overrightarrow{HP}$ даёт $p(p-x)=0$. Так…

Ещё 3 шага — в полном решении

Пересечение диагоналей трапеции

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 11$, $DC = 55$, $AC = 30$.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Кроме того, углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
2. 2
   Из подобия треугольников получаем пропорцию для соответствующих сторон:$$\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{DC}=\frac{11}{55}=\frac{1}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота и окружность

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…

1. 1
   Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$. Поэтому по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, углы $BPH$ и $BKH$ прямые.$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$
2. 2
   Так как $AB \perp BC$, из $PH \perp AB$ следует $PH \parallel BC$, а из $KH \perp BC$ следует $KH \parallel AB$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Катет по его проекции

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 9$, $AC = 36$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.
2. 2
   По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$$
2. 2
   Выразим площадь треугольника через катеты и через гипотенузу и высоту, проведённую к гипотенузе:$$S=\frac{18\cdot24}{2}=\frac{30h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 21^2 = 75^2$$
2. 2
   Найдём второй катет:$$b = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = \sqrt{5184} = 72$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина отрезка MC

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 13$, $DC = 65$, $AC = 42$.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, а углы $MAB$ и $MCD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$. Следовательно, треугольники подобны.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
2. 2
   Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{DC}=\frac{13}{65}=\frac{1}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пересечение диагоналей трапеции

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 16$, $DC = 24$, $AC = 25$.

1. 1
   Так как $AB \parallel DC$, углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие углы. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные.$$\angle MAB = \angle MCD,\quad \angle AMB = \angle CMD$$
2. 2
   Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат искомого катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета.$$b^2 = 20^2 - 12^2$$
2. 2
   Вычислим длину искомого катета.$$b = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$$

Медиана равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.

1. 1
   Медиана равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение:$$m = \dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{12\cdot 3}{2} = 18$$

Длина боковой стороны трапеции

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 15$, $BF = 8$.

1. 1
   Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $A$ и $B$, прилежащие к боковой стороне $AB$, являются односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $AFB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$ трапеции. Следовательно, их сумма равна $90^\circ$, а угол $AFB$ также равен $90^\circ$.$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота к гипотенузе

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 10$, $AC = 40$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ его проекция равна $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$AB^2 = 40 \cdot 10 = 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Параллельный отрезок в треугольнике

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 16$, $AC = 20$, $NC = 15$.

1. 1
   Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
2. 2
   Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Параллельная прямая в треугольнике

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 12$, $AC = 42$, $NC = 25$.

1. 1
   Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
2. 2
   Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Отрезок на сторонах треугольника

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…

1. 1
   Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив ось $Ox$ вдоль $BA$, а ось $Oy$ вдоль $BC$. Пусть $H=(x_H,y_H)$.
2. 2
   Точка $X$ принадлежит окружности с диаметром $BH$ тогда и только тогда, когда угол $BXH$ прямой. В координатах это означает, что скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BX}$ и $\overrightarrow{HX}$ равно нулю.$$x(x-x_H)+y(y-y_H)=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 16^2 = 34^2$$
2. 2
   Найдём второй катет:$$b^2 = 34^2 - 16^2 = 1156 - 256 = 900,\quad b = 30$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25$$
2. 2
   Площадь треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с проведённой к ней высотой:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основания трапеции по средним отрезкам

Углы при одном из оснований трапеции равны $77^\circ$ и $13^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $11$ и $10$. Найдите основания трапеции.

1. 1
   Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=11$$
2. 2
   Из первого равенства получаем сумму оснований.$$a+b=22$$

Ещё 4 шага — в полном решении