Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку длина стороны $AC$ равна четырём клеткам, то есть $AC=4$.$$AC=4$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку сторона $AC$ занимает $8$ клеток. Так как размер клетки равен $1 \times 1$, длина стороны равна$$AC=8$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{8}{2}=4$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку длина стороны $AC$ равна шести клеткам, то есть $AC=6$.$$AC=6$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   По рисунку считаем число клеток, составляющих каждый катет: горизонтальный катет имеет длину 8 клеток, вертикальный — 5 клеток.$$a = 8,\quad b = 5$$
2. 2
   Большим является горизонтальный катет.$$\max(a,b)=\max(8,5)=8$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   Отрезок $AB$ вертикальный, поэтому его длина равна расстоянию между горизонтальными линиями, на которых расположены точки $A$ и $B$.
2. 2
   Между точками $A$ и $B$ насчитывается три клетки. Размер каждой клетки равен $1$.$$AB = 3 \cdot 1 = 3$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ находятся на одной горизонтальной линии.
2. 2
   Расстояние между ними по горизонтали составляет три клетки. Размер одной клетки равен $1$.$$AB = 3 \cdot 1 = 3$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По клеткам определяем положение точек $A$ и $B$. Они лежат на одной горизонтальной прямой.
2. 2
   Считаем число единичных отрезков между точками $A$ и $B$: оно равно двум.$$AB = 2$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку сторона $AC$ занимает 10 клеток, поэтому её длина равна 10.$$AC = 10$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ расположены на одной вертикальной линии.
2. 2
   Расстояние между ними составляет три клетки. Размер одной клетки равен $1$, значит длина отрезка равна:$$AB = 3 \cdot 1 = 3$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ находятся на одной вертикальной линии сетки.
2. 2
   Расстояние между соседними горизонтальными линиями равно размеру клетки, то есть 1.$$AB = 1$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   Отрезок $AB$ лежит на горизонтальной линии клетчатой бумаги.
2. 2
   По чертежу между точками $A$ и $B$ расположены три клетки, каждая размером $1\times1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   Отрезок $AB$ расположен горизонтально на линиях клетчатой бумаги.
2. 2
   По чертежу между точками $A$ и $B$ укладываются три клетки. Размер каждой клетки равен $1$.$$AB = 3 \cdot 1 = 3$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку сторона $AC$ имеет длину 10 клеток, то есть $AC = 10$.$$AC = 10$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку длина стороны $AC$ равна десяти клеткам.$$AC=10$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку сторона $AC$ имеет длину $4$ клетки. Так как размер клетки равен $1 \times 1$, получаем $AC=4$.$$AC=4$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ расположены на одной горизонтали.$$h=0$$
2. 2
   Расстояние между точками по горизонтали равно двум клеткам. Размер клетки равен 1.$$AB=2\cdot 1=2$$

Пересечение диагоналей трапеции

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 18$, $DC = 54$, $AC = 48$.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle MAB = \angle MCD$$
2. 2
   Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Пропорциональные отрезки в треугольнике

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 15$, $DC = 30$, $AC = 39$.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.
2. 2
   Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны:$$\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AB}{DC}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2+20^2=52^2$$
2. 2
   Находим второй катет:$$b=\sqrt{52^2-20^2}=\sqrt{2704-400}=\sqrt{2304}=48$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона треугольника по радиусу

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $64^\circ$ и $86^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $13$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-64^\circ-86^\circ=30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении