Решение: Равенство углов в треугольнике
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ равны.
Решение по шагам
4 шагаТак как $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точка $B_1$ лежит на $AC$, угол $BB_1C$ является прямым.
$$\angle BB_1C = 90^\circ$$Так как $CC_1$ — высота треугольника $ABC$, то $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $C_1$ лежит на $AB$, угол $BC_1C$ также является прямым.
$$\angle BC_1C = 90^\circ$$Следовательно, точки $B_1$ и $C_1$ видят отрезок $BC$ под прямым углом. Поэтому точки $B$, $B_1$, $C_1$, $C$ лежат на одной окружности с диаметром $BC$.
В этой окружности углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ являются вписанными и опираются на одну и ту же хорду $CB_1$. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
Так как $\angle BB_1C = \angle BC_1C = 90^\circ$, точки $B$, $B_1$, $C_1$, $C$ лежат на окружности с диаметром $BC$. Углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ опираются на одну хорду $CB_1$, поэтому $\angle CC_1B_1 = \angle CBB_1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему точки $B$, $B_1$, $C_1$, $C$ лежат на одной окружности.
Неверно указывают хорду, на которую опираются рассматриваемые углы.
Путают углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ с углами при основаниях высот.