Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Стереометрия» — с ответами

Сечение правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что…

1. 1
   Выберем начало координат в точке $S$, а векторы $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SC}$ примем за базисные. Тогда вершинам соответствуют координаты $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$.
2. 2
   Так как $AN=3NS$, то $SN:SA=1:4$, поэтому $N=\left(\frac14,0,0\right)$. Также $M=\left(\frac12,\frac12,0\right)$ и $K=\left(0,0,\frac12\right)$. Обозначим $t=\frac{BL}{BC}$. Тогда $L=(0,1-t,t)$.$$BL:LC=t:(1-t)$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Угол между гранями пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=2\sqrt{2}$, $BC=4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены…

1. 1
   Введём координаты: $B=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{2},0,0)$, $C=(0,4,0)$, $D=(2\sqrt{2},4,0)$. Центр прямоугольника имеет координаты $O=(\sqrt{2},2,0)$, поэтому $S=(\sqrt{2},2,h)$.$$SD^2=DO^2+SO^2$$
2. 2
   Так как $SD=4$, $DO^2=(\sqrt{2})^2+2^2=6$, то высота пирамиды равна $SO=\sqrt{10}$. Следовательно, $S=(\sqrt{2},2,\sqrt{10})$.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Сечение прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и…

1. 1
   Введём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, $B(6\sqrt{2},0,0)$, $D(0,10,0)$, $A_1(0,0,16)$. Тогда $B_1(6\sqrt{2},0,16)$, $C_1(6\sqrt{2},10,16)$, $D_1(0,10,16)$.
2. 2
   Так как $A_1E:EA=5:3$, то $A_1E=10$, а $EA=6$. Следовательно, $E(0,0,10)$. Из отношения $B_1F:FB=5:11$ получаем $B_1F=5$, поэтому $F(6\sqrt{2},0,11)$. Точка $T$ — середина $B_1C_1$, значит $T(6\sqrt{2},5,16)$.$$E(0,0,10),\quad F(6\sqrt{2},0,11),\quad T(6\sqrt{2},5,16)$$

Ещё 8 шагов — в полном решении

Сечение правильной треугольной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$…

1. 1
   Поскольку точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SAB$. Поэтому $MN\parallel AB$ и $MN=\dfrac{AB}{2}=3$.
2. 2
   Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания и содержит прямую $MN$, параллельную $AB$. Поэтому линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания параллельна $AB$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Расстояние до диагонали цилиндра

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$…

1. 1
   Так как $AC$ — диаметр основания, угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой. В треугольнике $ABC$ угол $ACB=45^\circ$, поэтому угол $BAC$ также равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный, и…$$\angle ABC=90^\circ,\quad BC=AB=2\sqrt{3}$$
2. 2
   Введём прямоугольную систему координат: $C=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{6},0,0)$, $B=(\sqrt{6},\sqrt{6},0)$, $C_1=(0,0,2\sqrt{6})$. Последняя координата точки $C_1$ равна высоте цилиндра.$$C=(0,0,0),\quad A=(2\sqrt{6},0,0),\quad B=(\sqrt{6},\sqrt{6},0),\quad C_1=(0,0,2\sqrt{6})$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Сечение призмы плоскостью MKC

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина…

1. 1
   Так как трапеция равнобедренная, разность оснований равна $1$, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна $\frac12$. Из условия $\angle ADC=60^\circ$ получаем координаты вершин основания: $D=(0,0,0)$, $A=(3,0,0)$…
2. 2
   Пусть высота призмы равна $h$. Тогда $M=(1,0,h)$, поскольку $A_1M:MD_1=1:2$, а $K=\left(0,0,\frac h2\right)$, поскольку $K$ — середина $DD_1$.

Ещё 7 шагов — в полном решении

Сечение правильной призмы

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все рёбра равны, на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM=2MA_1$. Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную…

1. 1
   Обозначим высоту призмы и длину её бокового ребра через $h$. Так как все рёбра правильной призмы равны, сторона основания также равна $h$. Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(h,0,0)$, $C=\left(\dfrac h2,\dfrac{\sqrt3 h}{2},0\right)$, а…$$A_1=(0,0,h),\quad B_1=(h,0,h),\quad C_1=\left(\dfrac h2,\dfrac{\sqrt3 h}{2},h\right)$$
2. 2
   Из условия $AM=2MA_1$ следует, что $AM=\dfrac{2h}{3}$. Поэтому координаты точки $M$ имеют вид:$$M=\left(0,0,\dfrac{2h}{3}\right)$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Цилиндр и угол между прямыми

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$…

1. 1
   Так как $AC$ — диаметр окружности, по теореме Фалеса $\angle ABC = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны $\angle ACB=30^\circ$ и $AB=\sqrt{2}$.$$\sin 30^\circ=\frac{AB}{AC}$$
2. 2
   Найдём диаметр основания и радиус цилиндра:$$AC=\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}=2\sqrt{2},\qquad R=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Объём пирамиды в правильной призме

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если…

1. 1
   Рассмотрим треугольник $SAD$. Точки $M$ и $K$ — середины его сторон $SA$ и $SD$, поэтому по теореме о средней линии треугольника $MK\parallel AD$.
2. 2
   В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Следовательно, из $MK\parallel AD$ и $AD\parallel BC$ получаем $MK\parallel BC$.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Сечение правильной пирамиды

Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне основания $BC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно…

1. 1
   Так как плоскость $\alpha$ проходит через $M$ и параллельна $SA$, её пересечение с плоскостью боковой грани $SCD$ — прямая $ML$, поэтому $ML \parallel SA$.
2. 2
   В треугольнике $SCA$ точка $M$ — середина стороны $SC$, а прямая $ML$ параллельна $SA$. По теореме о пропорциональных отрезках точка $L$ является серединой $SD$, если рассматривать соответствующее сечение. Однако для положения точки $N$…

Ещё 4 шага — в полном решении

Сечение прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и…

1. 1
   Введём прямоугольную систему координат: $A=(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Обозначим $b=2\sqrt{2}$.$$B=(b,0,0),\quad D=(0,6,0),\quad A_1=(0,0,10),\quad D_1=(0,6,10)$$
2. 2
   Из отношения $A_1E:EA=3:2$ следует, что $A_1E=6$, $EA=4$. Из отношения $B_1F:FB=3:7$ следует, что $B_1F=3$, $FB=7$.$$E=(0,0,4),\quad F=(b,0,7)$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Цилиндр и угол между прямыми

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$…

1. 1
   Поскольку $AC$ — диаметр основания, угол $ABC$ опирается на диаметр. По теореме Фалеса $\angle ABC=90^\circ$.$$\angle ABC=90^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны $AB=1$ и $\angle ACB=30^\circ$. Сторона $AB$ лежит напротив угла $30^\circ$, поэтому гипотенуза в два раза больше этой стороны:$$AC=2AB=2$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Угол между плоскостями параллелепипеда

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=1:2$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$…

1. 1
   Введём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Тогда $B(2,0,0)$, $D(0,6,0)$, $A_1(0,0,6)$, $B_1(2,0,6)$, $C_1(2,6,6)$, $D_1(0,6,6)$.
2. 2
   Так как $A_1E:EA=1:2$, точка $E$ делит ребро $A_1A$ так, что $A_1E=2$, поэтому $E(0,0,4)$. Из условия $B_1F:FB=1:5$ получаем $B_1F=1$, поэтому $F(2,0,5)$. Точка $T$ — середина $B_1C_1$, следовательно, $T(2,3,6)$.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Параллельность плоскости ребру

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на…

1. 1
   Так как все боковые рёбра равны, проекция вершины $S$ на основание является центром прямоугольника $ABCD$. Диагональ $BD=9$, поэтому $AC=9$. Из прямоугольного треугольника $ABD$ получаем:$$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{81-25}=2\sqrt{14}$$
2. 2
   Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(5,0,0)$, $D=(0,2\sqrt{14},0)$, $C=(5,2\sqrt{14},0)$. Центр основания имеет координаты $O=(\frac52,\sqrt{14},0)$. Так как $SA=5$, высота пирамиды равна:$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{25-\frac{81}{4}}=\frac{\sqrt{19}}2$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Высота призмы и середина ребра

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что…

1. 1
   Обозначим $AB=a$, $AD=b$, а долю, в которой точка $M$ делит ребро $A_1B_1$, через $t$, то есть $A_1M=t\cdot A_1B_1$. Поскольку $B_1K:KC_1=2:3$, имеем $B_1K=\frac{2}{5}B_1C_1$.
2. 2
   Векторы, задающие отрезки $MK$ и $AN$, имеют вид $\overrightarrow{MK}=(1-t)\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AD}$, где $u=\frac{BN}{BC}$. Так как $MK\parallel AN$…

Ещё 6 шагов — в полном решении

Сечение пирамиды плоскостью

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является…

1. 1
   Пусть сторона основания равна $a$, а высота пирамиды равна $h$. Так как сечение является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}$, его сторона $l$ определяется равенством$$\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=4\sqrt{3},\qquad l=4$$
2. 2
   Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому сечение является вертикальным треугольником. Его сторона в основании лежит на следе плоскости $\alpha$ в основании пирамиды. В равностороннем треугольнике высота проведена к…

Ещё 7 шагов — в полном решении

Центры окружностей в призме

В условии задачи на изображении не отображаются обозначения рёбер, точек, треугольников, прямой и плоскости: вместо них видны пустые места. Из-за этого невозможно однозначно восстановить постановку…

1. 1
   В распознанном условии отсутствуют ключевые обозначения: названия рёбер, точек, треугольников, прямой, плоскости и условие, связывающее положения точек. Эти данные необходимы как для доказательства пункта а), так и для вычисления…
2. 2
   Поэтому единственное корректное действие — запросить исходное условие с читаемыми обозначениями. Восстановление пропущенных символов по контексту неоднозначно.

Призма и угол между прямой и плоскостью

В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$, причём $AB=BC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.

1. 1
   Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота из вершины $B$ к основанию $AC$ является также медианой. Поэтому её длина равна$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$$
2. 2
   Введём координаты: $A=(-4,0,0)$, $C=(4,0,0)$, $B=(0,2\sqrt{5},0)$. Так как призма прямая и $AA_1=3$, получаем $A_1=(-4,0,3)$ и $B_1=(0,2\sqrt{5},3)$.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Плоскость в треугольной призме

В основании прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через…

1. 1
   Выберем масштаб так, чтобы $AB=AA_1=2$. Так как $AB:BC=2:5$, получаем $BC=AC=5$. Поместим призму в координатную систему: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $A_1(0,0,2)$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, точка $C$ имеет абсциссу $1$. Из…
2. 2
   Найдём координаты заданных точек: $P(\frac12,0,0)$, $Q(\frac12,\frac{\sqrt{24}}2,2)$, $M(1,\frac{\sqrt{24}}2,0)$. Поэтому $\overrightarrow{PQ}=(0,\frac{\sqrt{24}}2,2)$.

Ещё 4 шага — в полном решении