61ФИПИ AA07B4№ 16Повышенная Решите неравенство $\log_5\bigl((3-x)(x^2+2)\bigr)\geq\log_5(x^2-7x+12)+\log_5(5-x)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $(3-x)(x^2+2)>0$. Так как $x^2+2>0$ при любом $x$, получаем $x<3$.$$(3-x)(x^2+2)>0\Rightarrow x<3$$
- 2
Для второго логарифма требуется $x^2-7x+12>0$, то есть $(x-3)(x-4)>0$. Отсюда $x<3$ или $x>4$. Для третьего логарифма $5-x>0$, то есть $x<5$. Общая область допустимых значений: $x<3$.$$(x-3)(x-4)>0,\quad 5-x>0\Rightarrow x<3$$
Ещё 4 шага — в полном решении
62ФИПИ B0D5e7№ 16Повышенная Решите неравенство $3^{\log_3(25-5^x)}+25^x-45\ge 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:$$25-5^x>0$$
- 2
Так как $5^2=25$, получаем:$$5^x<5^2\quad\Rightarrow\quad x<2$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
63ФИПИ B28531№ 16Повышенная Решите неравенство $\dfrac{1}{3^{x+21}}+\dfrac{1}{3^{x-27}}\geq 0$.
- 1
Показательные функции $3^{x+21}$ и $3^{x-27}$ определены при всех действительных значениях $x$. Кроме того, поскольку основание $3$ положительно, оба значения знаменателей положительны.$$3^{x+21}>0,\quad 3^{x-27}>0$$
- 2
Следовательно, каждое слагаемое в левой части неравенства положительно.$$\dfrac{1}{3^{x+21}}>0,\quad \dfrac{1}{3^{x-27}}>0$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{8x^3-4x^2-2x+1}{16^{x^2}-4\cdot 4^{x^2}+4}\le 0$.
- 1
Разложим числитель на множители:$$8x^3-4x^2-2x+1=(2x-1)(4x^2-1)=(2x-1)^2(2x+1)$$
- 2
Преобразуем знаменатель. Обозначим $t=4^{x^2}$. Тогда $16^{x^2}=t^2$, поэтому:$$16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4=(4^{x^2})^2-4\cdot4^{x^2}+4=(4^{x^2}-2)^2$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{2\cdot 8^{2x-1}}{2\cdot 8^{2x-1}-1}\geq\dfrac{3}{8^{x-1}}+\dfrac{8}{64^{x-5}-8^{x+4}}$.
- 1
Введём замену $t=8^{x-1}$. Тогда $t>0$, а также $8^{2x-1}=8t^2$, $64^{x-5}=\dfrac{t^2}{8^8}$ и $8^{x+4}=8^5t$.
- 2
Преобразуем знаменатели: $2\cdot8^{2x-1}-1=16t^2-1$, а $64^{x-5}-8^{x+4}=\dfrac{t(t-8^{13})}{8^8}$. Поэтому область допустимых значений задаётся условиями $t\neq\dfrac14$ и $t\neq8^{13}$.
Ещё 3 шага — в полном решении
66ФИПИ BAB6D0№ 16Повышенная Решите неравенство $\log_3^2(x^2-16)-5\log_3(x^2-16)+6\ge 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным.$$x^2-16>0$$
- 2
Введём замену $t=\log_3(x^2-16)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$$t^2-5t+6\ge 0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2+\log_2 x^4+1}\ge 0$.
- 1
Область допустимых значений логарифмов: $2-x>0$ и $x+1>0$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль.$$0<x<2$$
- 2
Преобразуем числитель по формуле разности логарифмов.$$\log_2(2-x)-\log_2(x+1)=\log_2\frac{2-x}{x+1}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
68ФИПИ BF9904№ 16Повышенная Решите неравенство $\log_2(4x^2-1)-\log_2 x\leq\log_2\left(5x+\dfrac{9}{x}-11\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Необходимо, чтобы $x>0$ и $4x^2-1>0$. Кроме того, выражение $5x+\dfrac{9}{x}-11$ должно быть положительным.$$x>0,\quad 4x^2-1>0,\quad 5x+\dfrac{9}{x}-11>0$$
- 2
Из первых двух условий получаем $x>\dfrac{1}{2}$. При $x>0$ последнее выражение положительно, поскольку его числитель $5x^2-11x+9$ имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент.$$D=(-11)^2-4\cdot5\cdot9=-59<0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\log_{49}(x+4)+\log_{x^2+8x+16}\sqrt{7}\leq -\dfrac{3}{4}$.
- 1
Выпишем область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $x+4>0$. Основание второго логарифма должно быть положительным и не равно единице: $x^2+8x+16=(x+4)^2>0$, $(x+4)^2\neq 1$. Поэтому $x>-4$ и…
- 2
Сделаем замену $t=x+4$. Тогда $t>0$, $t\neq 1$, а $x^2+8x+16=t^2$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(4x^2)+35}{\log_2^2 x-36}\geq -1$.
- 1
Так как логарифм определён при $x>0$, а знаменатель не должен обращаться в ноль, получаем область допустимых значений:$$x>0,\quad \log_2^2 x-36\neq 0,\quad \log_2 x\neq \pm 6$$
- 2
Выполним замену $t=\log_2 x$. Тогда $\log_2(4x^2)=\log_2 4+2\log_2 x=2+2t$.$$t=\log_2 x,\quad \log_2(4x^2)=2+2t$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_3(81x)}{\log_3 x-4}+\dfrac{\log_3 x-4}{\log_3(81x)}\geq\dfrac{24-\log_3 x^8}{\log_3^2 x-16}$.
- 1
Область допустимых значений определяется условиями $x>0$, $\log_3 x-4\neq0$, $\log_3(81x)\neq0$ и $\log_3^2x-16\neq0$. Поэтому $x>0$, $\log_3x\neq4$, $\log_3x\neq-4$.
- 2
Введём замену $t=\log_3x$. Тогда $\log_3(81x)=\log_3(3^4x)=t+4$, а $\log_3x^8=8t$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $7\log_{12}(x^2-13x+42)\le 8+\log_{12}\left(\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:$$x^2-13x+42=(x-6)(x-7)>0,\qquad \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0$$
- 2
Оба условия выполняются при $x<6$ или $x>7$.$$x\in(-\infty,6)\cup(7,+\infty)$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
73ФИПИ cc3F47№ 16Повышенная Решите неравенство $3^{\log_3(4-x^2)}+x^4-10\ge 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений логарифма:$$4-x^2>0\quad\Longrightarrow\quad -2<x<2$$
- 2
На ОДЗ применим свойство степени и логарифма:$$3^{\log_3(4-x^2)}=4-x^2$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50}{5^x-x^2-4}\geqslant0$.
- 1
Разложим числитель на множители, учитывая, что $10^x=2^x\cdot5^x$:$$10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50=(5^x-25)(2^x-2)$$
- 2
Найдём область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в ноль. Имеем $5^1-1^2-4=0$, поэтому $x=1$ является корнем знаменателя.
Ещё 3 шага — в полном решении
75ФИПИ D3ACC5№ 16Повышенная Решите неравенство $\log_{3}\bigl((2-x)(x^2+5)\bigr) \geq \log_{3}(x^2-5x+6)+\log_{3}(4-x)$.
- 1
Определим область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными. Условия $2-x>0$, $4-x>0$ и $x^2-5x+6>0$ дают $x<2$.$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0$$
- 2
Поскольку основание логарифмов $3>1$, объединим логарифмы в правой части и сравним аргументы.$$(2-x)(x^2+5)\geq(x^2-5x+6)(4-x)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60{,}5}\ge 0$.
- 1
Преобразуем числитель, выразив все степени через $3^x$:$$27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27=(3^x)^3-9(3^x)^2+27\cdot3^x-27$$
- 2
Полученное выражение является кубом разности:$$(3^x)^3-9(3^x)^2+27\cdot3^x-27=(3^x-3)^3$$
Ещё 4 шага — в полном решении
77ФИПИ DA4C80№ 16Повышенная Решите неравенство $\log_7(2x^2+12)-\log_7(x^2-x+12)\geq\log_7\left(2-\dfrac{1}{x}\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Выражения $2x^2+12$ и $x^2-x+12$ положительны при всех $x$, так как их дискриминанты отрицательны. Для третьего логарифма требуется $2-\dfrac{1}{x}>0$.$$2-\dfrac{1}{x}>0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$$
- 2
Так как основание логарифмов $7>1$, преобразуем неравенство, объединив разность логарифмов.$$\dfrac{2x^2+12}{x^2-x+12}\geq 2-\dfrac{1}{x}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
78ФИПИ DA9409№ 16Повышенная Решите неравенство $\dfrac{8^{x+1}-40}{2\cdot64^x-32}\leq1$.
- 1
Введём замену $t=8^x$. Тогда $t>0$, а $64^x=(8^x)^2=t^2$.$$t=8^x>0,\qquad 64^x=t^2$$
- 2
Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль.$$2t^2-32\neq0\quad\Longrightarrow\quad t\neq4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
79ФИПИ E0F447№ 16Повышенная Решите неравенство $\log_{5}\left(\dfrac{2}{x}+2\right)-\log_{5}(x+3)\leq\log_{5}\left(\dfrac{x+6}{x^2}\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:$$\dfrac{2}{x}+2>0,\quad x+3>0,\quad \dfrac{x+6}{x^2}>0$$
- 2
Из этих условий получаем:$$x\in(-3,-1)\cup(0,+\infty)$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите неравенство $3^x + \dfrac{243}{3^x - 84} \le 0$.
- 1
Область допустимых значений определяется условием $3^x - 84 \ne 0$, то есть $3^x \ne 84$.
- 2
Выполним замену $t = 3^x$. Так как показательная функция положительна, $t > 0$. Неравенство принимает вид:$$t + \dfrac{243}{t - 84} \le 0$$
Ещё 4 шага — в полном решении