Решение: Логарифмическое неравенство
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным.
$$x^2-16>0$$Введём замену $t=\log_3(x^2-16)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$t^2-5t+6\ge 0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его знаки.
$$(t-2)(t-3)\ge 0\quad\Longrightarrow\quad t\le 2\ \text{или}\ t\ge 3$$Поскольку основание логарифма больше единицы, переходим к неравенствам относительно его аргумента.
$$0<x^2-16\le 3^2\quad\text{или}\quad x^2-16\ge 3^3$$Решаем полученные совокупности неравенств.
$$0<x^2-16\le 9\Longrightarrow 16<x^2\le 25\Longrightarrow x\in[-5,-4)\cup(4,5]$$Вторая часть совокупности даёт:
$$x^2-16\ge 27\Longrightarrow x^2\ge 43\Longrightarrow x\in(-\infty,-\sqrt{43}]\cup[\sqrt{43},+\infty)$$x\in(-\infty,-\sqrt{43}]\cup[-5,-4)\cup(4,5]\cup[\sqrt{43},+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $x^2-16>0$.
Неверно определить знак квадратного трёхчлена.
Забыть, что при основании $3>1$ знак неравенства при переходе от логарифма к аргументу не меняется.
Неправильно расставить открытые и закрытые концы промежутков.