Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $x-4$ км/ч, а по течению — $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения против течения составляет $\dfrac{77}{x-4}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{77}{x+4}$ часов. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:$$\dfrac{77}{x-4}-\dfrac{77}{x+4}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов…
- 1
Обозначим через $x$ массу кислоты в первом растворе, а через $y$ — массу кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании всех растворов масса полученной кислоты составляет $33\%$ от $40+20=60$ кг.$$x+y=0{,}33\cdot 60=19{,}8$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. При этом $x>5$.
- 2
Время движения по течению и против течения в сумме составляет 5 часов.$$\dfrac{52}{x+5}+\dfrac{48}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ кг кислоты содержится в первом растворе, а $y$ кг — во втором.$$x+y=0{,}73\cdot(40+30)=51$$
- 2
При смешивании всего содержимого сосудов масса кислоты равна $x+y$, поэтому из первого условия получаем первое уравнение.
Ещё 4 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В. Тогда скорость на обратном пути равна $x+5$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В составляет $\dfrac{180}{x}$ часов. Обратный путь занял $\dfrac{180}{x+5}$ часов, а с учётом остановки — $\dfrac{180}{x+5}+3$ часа.
Ещё 5 шагов — в полном решении
Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{105}{35} = 3\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{500}{100} = 5\ \text{ч}$$
- 2
Весь путь равен сумме длин трёх участков, а всё время — сумме времён движения.$$S = 105 + 120 + 500 = 725\ \text{км},\quad t = 3 + 2 + 5 = 10\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а скорость против течения — $x-5$ км/ч.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{48}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{42}{x-5}$ часов. Составим уравнение для всего времени движения.$$\dfrac{48}{x+5}+\dfrac{42}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого…
- 1
Обозначим скорость первого бегуна через $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+5$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун прошёл $x$ км, и ему осталось 3 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $x+3$ км.$$L=x+3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда время движения из А в В составляет $\dfrac{224}{x}$ часов.
- 2
На обратном пути скорость равна $x+2$ км/ч, поэтому время движения без остановки составляет $\dfrac{224}{x+2}$ часов. С учётом остановки общее время равно $\dfrac{224}{x+2}+2$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+2$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+2$$
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{224}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{224}{x+2}$ ч. Первый прибыл на 2 часа раньше.$$\frac{224}{x}-\frac{224}{x+2}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Свежие фрукты содержат 72 % воды, а высушенные — 26 %. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах сухое вещество составляет $100\% - 72\% = 28\%$.$$100\% - 72\% = 28\%$$
- 2
Найдём массу сухого вещества в 222 кг свежих фруктов.$$222 \cdot 0{,}28 = 62{,}16\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Вычислим время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{450}{90} = 5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{230}{115} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{120}{40} = 3\ \text{ч}$$
- 2
Найдём общий путь и общее время движения.$$S = 450 + 230 + 120 = 800\ \text{км},\quad t = 5 + 2 + 3 = 10\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 880-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.
- 2
Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{880}{x}$ часов, а время движения первого — $\dfrac{880}{x+30}$ часов. По условию второй автомобиль ехал на 3 часа дольше.$$\dfrac{880}{x} - \dfrac{880}{x+30} = 3$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах содержится $100\% - 86\% = 14\%$ сухого вещества.$$341 \cdot 0{,}14 = 47{,}74\ \text{кг}$$
- 2
В высушенных фруктах содержится $100\% - 23\% = 77\%$ сухого вещества. Масса сухого вещества при сушке не изменяется, поэтому обозначим массу высушенных фруктов через $x$.$$0{,}77x = 47{,}74$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?
- 1
При сушке испаряется только вода, поэтому масса сухого вещества остаётся неизменной. В свежих фруктах сухое вещество составляет $100\% - 86\% = 14\%$.$$204 \cdot 0{,}14 = 28{,}56\ \text{кг}$$
- 2
В высушенных фруктах воды 16 %, значит, сухое вещество составляет $100\% - 16\% = 84\%$ массы высушенных фруктов.
Ещё 2 шага — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого…
- 1
Обозначим скорость первого бегуна через $v$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $v+5$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун пробежал $v$ км, и ему оставалось 2 км до конца круга. Значит, длина круга равна $v+2$ км.
Ещё 3 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов…
- 1
Пусть $x$ кг кислоты содержится в первом растворе, а $y$ кг — во втором.
- 2
Масса всего раствора равна $22+18=40$ кг. Поэтому масса кислоты в полученном растворе составляет $0{,}32\cdot40=12{,}8$ кг.$$x+y=12{,}8$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть весь путь автомобиля равен $S$ км. Тогда каждая половина пути равна $S/2$ км.$$S_1=S_2=\dfrac{S}{2}$$
- 2
Найдём время движения на каждой половине пути и сложим эти времена.$$t=\dfrac{S/2}{54}+\dfrac{S/2}{90}=\dfrac{S}{108}+\dfrac{S}{180}=\dfrac{2S}{135}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первые 330 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём весь путь автомобиля сложением длин всех участков.$$S = 330 + 105 + 150 = 585\ \text{км}$$
- 2
Вычислим время движения на каждом участке.$$t_1 = \dfrac{330}{110} = 3\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{105}{35} = 3\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{150}{50} = 3\ \text{ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+20$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+20$$
- 2
Время движения второго автомобиля на 1 ч больше времени движения первого автомобиля.$$\dfrac{240}{x}-\dfrac{240}{x+20}=1$$
Ещё 3 шага — в полном решении