Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пусть $x$ литров воды в минуту пропускает вторая труба. Тогда первая труба пропускает $x-3$ литра в минуту.

Вторая труба заполнит резервуар за $\dfrac{260}{x}$ минут, а первая труба — за $\dfrac{260}{x-3}$ минут.

Пусть $x$ литров воды в минуту пропускает вторая труба. Тогда первая труба пропускает $x-16$ литров в минуту. По смыслу задачи $x>16$.$$x>16$$

Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{105}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{105}{x-16}$ минут. Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше.$$\dfrac{105}{x-16}-\dfrac{105}{x}=4$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+10$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{60}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{60}{x+10}$ ч. По условию второй велосипедист ехал на 3 часа дольше.$$\dfrac{60}{x} - \dfrac{60}{x+10} = 3$$

После высушивания масса сухих веществ не изменяется. В свежих фруктах сухие вещества составляют $100\% - 81\% = 19\%$.$$420 \cdot 0{,}19 = 79{,}8\ \text{кг}$$

В высушенных фруктах вода составляет 16 %, поэтому сухие вещества составляют $100\% - 16\% = 84\%$.$$0{,}84x = 79{,}8$$

Общее время поездки составляет 14 часов, из них 8 часов теплоход стоял. Поэтому время движения теплохода равно:$$14-8=6\text{ ч}$$

Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $24+x$ км/ч, а против течения — $24-x$ км/ч.

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 36 + 4 = 40\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$40\ \text{км/ч} = 40 \cdot \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{100}{9}\ \text{м/с}$$

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+9$ деталей в час.

Второй рабочий выполняет заказ за $\dfrac{216}{x}$ часов, а первый — за $\dfrac{216}{x+9}$ часов. По условию первый работает на 4 часа меньше:$$\dfrac{216}{x}-\dfrac{216}{x+9}=4$$

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x+5,\quad x-5$$

Время движения по течению равно $\dfrac{84}{x+5}$, а время движения против течения — $\dfrac{66}{x-5}$. По условию их сумма составляет 10 часов.$$\dfrac{84}{x+5}+\dfrac{66}{x-5}=10$$

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+20$ км/ч.

Время второго автомобиля в пути на 1 час больше времени первого, поэтому составим уравнение:$$\frac{400}{x}-\frac{400}{x+20}=1$$

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-4$ км/ч, а по течению — $x+4$ км/ч.

Время движения против течения составляет $\dfrac{192}{x-4}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{192}{x+4}$ часов.

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+16$ литров воды в минуту.

Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{105}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{105}{x+16}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше.$$\dfrac{105}{x} - \dfrac{105}{x+16} = 4$$

Пусть длина всего пути равна $S$ км, а скорость первого автомобиля — $v$ км/ч. Тогда время движения первого автомобиля равно:$$\dfrac{S}{v}$$

Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 30 км/ч, поэтому затратил на неё время:$$\dfrac{S/2}{30}=\dfrac{S}{60}$$

Найдём содержание сухого вещества в свежих фруктах:$$100\%-84\%=16\%$$

Найдём массу сухого вещества в 52 кг высушенных фруктов. В них содержится 72% сухого вещества:$$52\cdot0{,}72=37{,}44\ \text{кг}$$

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а скорость против течения — $x-5$ км/ч.

Время движения по течению составляет $\dfrac{80}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{60}{x-5}$ часов. По условию их сумма равна 10 часам:$$\dfrac{80}{x+5}+\dfrac{60}{x-5}=10$$

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 3 км/ч. Время движения плота до момента возвращения лодки составило$$t_{\text{плота}}=\dfrac{48}{3}=16\text{ ч}$$

Лодка отправилась на один час позже плота, поэтому она находилась в пути$$t_{\text{лодки}}=16-1=15\text{ ч}$$

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+3$ литров воды в минуту.

Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{260}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{260}{x+3}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше.$$\dfrac{260}{x}=\dfrac{260}{x+3}+6$$

Пусть половина всего пути равна $s$ км. Тогда весь путь составляет $2s$ км.

Время движения на первой половине пути равно $\dfrac{s}{34}$ ч, а на второй половине — $\dfrac{s}{51}$ ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-4$ км/ч, а скорость по течению — $x+4$ км/ч.

Время движения против течения составляет $\dfrac{288}{x-4}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{288}{x+4}$ часов.

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. Поскольку скорость против течения должна быть положительной, $x>5$.$$v_{\text{по течению}}=x+5,\quad v_{\text{против течения}}=x-5$$

Время движения по течению составляет $\dfrac{32}{x+5}$ часа, а время движения против течения — $\dfrac{24}{x-5}$ часа. Их сумма равна 4 часам.$$\dfrac{32}{x+5}+\dfrac{24}{x-5}=4$$

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 63 - 3 = 60\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду:$$60\ \text{км/ч} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$