Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+6$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{140}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{140}{x+6}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 3 часа больше:$$\dfrac{140}{x}-\dfrac{140}{x+6}=3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из В в А. Тогда скорость на пути из А в В равна $x - 5$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В равно $\dfrac{180}{x - 5}$ ч.
Ещё 3 шага — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого…
- 1
Пусть длина одного круга равна $x$ км. Через один час первому бегуну оставался 1 км до конца круга, значит, он пробежал $x-1$ км. Поэтому его скорость равна$$v_1=x-1$$
- 2
Второй бегун пробежал круг на 3 минуты раньше, то есть за $60-3=57$ минут, или за $0{,}95$ часа. Его скорость равна$$v_2=\dfrac{x}{0{,}95}=\dfrac{20x}{19}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Обозначим весь путь автомобиля через $S$ км. Тогда каждая половина пути равна $\dfrac{S}{2}$ км.$$S_1=S_2=\dfrac{S}{2}$$
- 2
Найдём время движения на каждом участке.$$t_1=\dfrac{S/2}{60}=\dfrac{S}{120},\quad t_2=\dfrac{S/2}{90}=\dfrac{S}{180}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Решите систему уравнений $\begin{cases}3x^2+y=4,\\2x^2-y=1.\end{cases}$
- 1
Сложим уравнения системы почленно. Переменная $y$ исключается:$$(3x^2+y)+(2x^2-y)=4+1$$
- 2
Решим получившееся уравнение относительно $x$:$$5x^2=5,\quad x^2=1,\quad x=\pm1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 225 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём длину всего пути:$$S_{\text{общ}} = 140 + 195 + 225 = 560\ \text{км}$$
- 2
Определим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{140}{70} = 2\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{195}{65} = 3\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{225}{75} = 3\ \text{ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x+5,\quad x-5$$
- 2
Общее время движения без стоянки равно $35-23=12$ часов.$$t_{\text{движения}}=35-23=12$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x - 20$ км/ч.
- 2
Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{990}{x}$ ч, а второго — $\dfrac{990}{x-20}$ ч. Второй автомобиль был в пути на 2 часа дольше.$$\dfrac{990}{x-20} - \dfrac{990}{x} = 2$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Обозначим собственную скорость баржи через $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x+5,\quad x-5$$
- 2
Время движения по течению составляет $\dfrac{40}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{30}{x-5}$ ч. По условию их сумма равна 5 часам.$$\dfrac{40}{x+5}+\dfrac{30}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 720-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.
- 2
Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{720}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{720}{x+30}$ ч. Первый автомобиль был в пути на 4 часа меньше:$$\dfrac{720}{x} - \dfrac{720}{x+30} = 4$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 51 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 50 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}}=51+3=54\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$54\ \text{км/ч}=54\cdot\frac{1000}{3600}=15\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого…
- 1
Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+8$ км/ч.
- 2
Через один час первый бегун пробежал $x$ километров, и ему осталось 7 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $x+7$ км.$$L=x+7$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения автомобиля на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{200}{50} = 4\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{180}{90} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{180}{45} = 4\ \text{ч}$$
- 2
Определим весь пройденный путь и всё время движения.$$S = 200 + 180 + 180 = 560\ \text{км},\quad t = 4 + 2 + 4 = 10\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. Найдём время, за которое плот проплыл 25 км:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{25}{5}=5\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, поэтому она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=5-1=4\text{ ч}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 25 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
- 1
При сушке масса воды уменьшается, а масса сухого вещества сохраняется. В высушенных фруктах сухое вещество составляет:$$100\% - 25\% = 75\%$$
- 2
Найдём массу сухого вещества в 44 кг высушенных фруктов:$$44 \cdot 0{,}75 = 33\ \text{кг}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+8$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{209}{x}$ часов, а первого — $\dfrac{209}{x+8}$ часов. По условию первый прибыл на 8 часов раньше.$$\dfrac{209}{x}-\dfrac{209}{x+8}=8$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.$$0<x<1,\quad 0<y<1$$
- 2
При смешивании всего содержимого сосудов масса раствора равна $48+42=90$ кг, а масса кислоты в нём равна $90\cdot0{,}42=37{,}8$ кг.$$48x+42y=37{,}8$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите значение выражения $11a - 7b + 21$, если $\dfrac{4a - 5b + 6}{5a - 4b + 6} = 3$.
- 1
Так как дробь равна $3$, её знаменатель не равен нулю. Умножим обе части равенства на знаменатель:$$4a - 5b + 6 = 3(5a - 4b + 6)$$
- 2
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$4a - 5b + 6 = 15a - 12b + 18$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь от А до В равен $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x-6$ км/ч.$$v_1=x,\quad v_{2,1}=x-6$$
- 2
Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{S}{x}$. Время движения второго автомобиля складывается из времени прохождения двух половин пути.$$t_1=\dfrac{S}{x},\quad t_2=\dfrac{S}{2(x-6)}+\dfrac{S}{112}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ кг — масса кислоты в первом растворе, а $y$ кг — масса кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании всех растворов общая масса раствора равна $4+16=20$ кг, поэтому масса кислоты в нём составляет $0{,}57 \cdot 20=11{,}4$ кг.$$x+y=11{,}4$$
Ещё 3 шага — в полном решении