Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по физике: «Энергия и импульс» — с ответами

При соударении внешним импульсом силы трения можно пренебречь, поэтому сохраняется импульс системы брусков.$$m v_0 + 4m\frac{v_0}{2} = (m+4m)v_1$$

Находим общую скорость брусков сразу после неупругого столкновения:$$v_1=\frac{m v_0+4m\frac{v_0}{2}}{5m}=\frac{3}{5}v_0$$

Найдём скорость шарика непосредственно перед ударом. При падении с высоты $H$ до высоты $h$ потенциальная энергия переходит в кинетическую:$$mg(H-h)=\frac{mv^2}{2},\qquad v^2=2g(H-h)$$

После удара шарик поднимается от высоты $h$ до высоты $h_1$. Его вертикальная составляющая скорости сразу после удара равна:$$mg(h_1-h)=\frac{mv_y^2}{2},\qquad v_y^2=2g(h_1-h)$$

Выберем положительным направление движения шарика массой $m_1$. Тогда скорость шарика массой $m_2$ направлена противоположно и равна $-u_2$.

Так как время взаимодействия мало, импульсом внешних сил можно пренебречь. По закону сохранения импульса до и после столкновения:$$m_1u_1 - m_2u_2 = (m_1 + m_2)v$$

В точке, расположенной на высоте $h$ над нижней точкой петли, расстояние от центра петли до кубика по вертикали равно $h-R$. Направим ось к центру петли. На кубик действуют сила реакции стенки $N=F$ и сила тяжести $mg$. Проекция силы…$$N - mg\frac{h-R}{R}=\frac{mv^2}{R}$$

Подставим значения $m=1\ \text{кг}$, $R=2\ \text{м}$, $h=2{,}5\ \text{м}$, $N=5\ \text{Н}$ и $g=10\ \text{м/с}^2$.$$5-10\frac{2{,}5-2}{2}=\frac{v^2}{2}$$

Рассмотрим систему, состоящую из снаряда и образовавшихся осколков. За короткое время взрыва внешним импульсом сопротивления воздуха можно пренебречь, поэтому импульс системы сохраняется. Пусть масса снаряда равна $M$, а его скорость до…

Выберем направление движения снаряда положительным. Скорость второго осколка имеет знак минус. Из закона сохранения импульса:$$Mv=\frac{M}{2}\cdot900-\frac{M}{2}\cdot100$$

До удара левый шарик движется под действием силы тяжести. Сопротивлением воздуха и трением в подвесе пренебрегаем, поэтому до момента удара применим закон сохранения механической энергии. Если $h$ — разность высот начального положения и…$$u^2 = 2gh$$

Во время удара внешним импульсом силы тяжести и натяжения нитей по горизонтальному направлению можно пренебречь, так как удар кратковременный, а нити в момент удара вертикальны. Поэтому сохраняется горизонтальная составляющая импульса.$$mu = (m+M)v$$

Во время кратковременного удара пули о шар внешним импульсом сил в горизонтальном направлении можно пренебречь: сила натяжения нити направлена вертикально, а изменение импульса тяжести за время удара мало. Поэтому для столкновения…$$m v_0 = (M + m)u$$

После столкновения пуля и шар движутся как единое тело массой $M + m$. Для минимального полного оборота нить в верхней точке должна быть натянута в предельном случае, то есть сила натяжения равна нулю.$$\frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{l} = (M+m)g$$

Обозначим через $t$ время от начала движения шариков до их столкновения. До столкновения первый шарик имеет вертикальную скорость $v_0\sin\alpha - gt$, а второй шарик, падающий из состояния покоя, — скорость $-gt$.$$v_{1y}=v_0\sin\alpha-gt,\qquad v_{2y}=-gt$$

Столкновение абсолютно неупругое, поэтому после него шарики движутся как одно тело. По условию их общая скорость сразу после столкновения горизонтальна, то есть вертикальная компонента скорости равна нулю. По закону сохранения импульса в…$$m(v_0\sin\alpha-gt)+m(-gt)=0$$

Во время удара сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы: внешние импульсы сил тяжести и реакции опоры за малое время удара не имеют горизонтальной составляющей. Удар абсолютно неупругий, поэтому механическая энергия во…$$(M+m)V=mv_0$$

Найдём скорость тела с пулей сразу после удара.$$V=\frac{mv_0}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot200}{0{,}99+0{,}01}=2\ \text{м/с}$$

В момент прохождения положения равновесия шарик движется по окружности. На шарик действуют сила натяжения нити и сила тяжести, поэтому второй закон Ньютона в радиальном направлении имеет вид:$$T_0 - mg = \frac{mv^2}{l}$$

Выразим скорость шарика непосредственно перед разрывом нити и подставим данные, принимая $g = 10\ \text{м/с}^2$:$$v^2 = \frac{(T_0 - mg)l}{m} = \frac{(8{,}6 - 0{,}5 \cdot 10) \cdot 0{,}8}{0{,}5} = 5{,}76$$

Рассмотрим движение снаряда после вылета. По вертикали снаряд совершает свободное падение с высоты $H = 5\ \text{м}$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому применим закон равноускоренного движения.$$H = \frac{gt^2}{2}$$

Принимая $g = 10\ \text{м/с}^2$, найдём время полёта:$$t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{10}} = 1\ \text{с}$$

Найдём время полёта снаряда по вертикальному движению. Начальная вертикальная скорость равна нулю.$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{10}} = 1\ \text{с}$$

Из дальности горизонтального полёта найдём скорость снаряда.$$v = \frac{L}{t} = \frac{600}{1} = 600\ \text{м/с}$$

Во время взрыва взаимодействие осколков является внутренним. Внешние силы, например сила тяжести, действуют в течение очень короткого времени, поэтому их импульсом можно пренебречь. Следовательно, импульс системы сохраняется.

Масса каждого осколка равна $1\ \text{кг}$. Выберем направление движения снаряда положительным. Тогда по закону сохранения импульса:$$2v = 1\cdot 900 + 1\cdot(-100)$$

До попадания пули брусок движется вниз по наклонной плоскости. Из закона сохранения механической энергии найдём его скорость непосредственно перед ударом:$$Mgx\sin\alpha = \frac{Mv^2}{2},\qquad v = \sqrt{2gx\sin\alpha}$$

При $g = 10\ \text{м/с}^2$ скорость бруска перед ударом равна:$$v = \sqrt{2\cdot 10\cdot 3{,}6\cdot \sin 30^\circ}=6\ \text{м/с}$$

До попадания пули шар движется из положения, соответствующего углу $60^\circ$, до положения равновесия. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, а натяжение нити работы не совершает, поэтому для шара применим закон сохранения механической…$$Mg l(1-\cos 60^\circ)=\frac{Mv^2}{2}$$

Скорость шара непосредственно перед попаданием пули равна$$v=\sqrt{2gl(1-\cos60^\circ)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}9\cdot\frac12}=3\ \text{м/с}$$

Пусть $v_1$ — скорость осколка, летящего в направлении движения снаряда, а $v_2$ — скорость второго осколка. Масса каждого осколка равна $2\ \text{кг}$, причём $v_2<0$.$$m_1=m_2=\frac{4}{2}=2\ \text{кг}$$

По закону сохранения импульса сумма импульсов осколков равна начальному импульсу снаряда.$$4\cdot400=2v_1+2v_2,\qquad v_1+v_2=800$$

Так как трением можно пренебречь, работа средней силы давления пороховых газов полностью переходит в кинетическую энергию снаряда.$$pSl=\frac{mv^2}{2}$$

Переведём величины в единицы СИ: $v=1{,}5\cdot10^3\ \text{м/с}$, $d=45\cdot10^{-3}\ \text{м}$, $l=3\ \text{м}$.

Разложим начальную скорость по направлениям на наклонной плоскости. Компонента, направленная вверх по плоскости, равна$$v_{0\parallel}=v_0\sin\beta$$

Вдоль наклонной плоскости на шайбу действует составляющая силы тяжести, поэтому её ускорение направлено вниз по плоскости и равно$$a=-g\sin\alpha$$

На стержень действуют сила тяжести $mg$, приложенная к его середине, нормальная реакция доски $N$ и сила трения $f$. Так как доска движется влево относительно неподвижного стержня, сила трения, действующая на стержень, направлена влево.$$f = \mu N$$

Рассмотрим моменты сил относительно шарнира. Длина стержня обозначена через $l$. Момент силы тяжести равен $\dfrac{mgl}{2}\cos\alpha$, момент нормальной реакции равен $Nl\cos\alpha$, а момент силы трения равен $fl\sin\alpha$.$$\frac{mgl}{2}\cos\alpha + fl\sin\alpha - Nl\cos\alpha = 0$$

После вылета шарик движется как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту. Так как точка падения находится на одной высоте с дулом, дальность полёта определяется формулой$$L = \frac{v^2\sin 2\alpha}{g}$$

Отсюда найдём скорость шарика при вылете из ствола:$$v^2 = \frac{gL}{\sin 2\alpha}$$