Решение: Кубик в мёртвой петле
Небольшой кубик массой $m = 1\ \text{кг}$ начинает скользить с нулевой начальной скоростью по гладкой горке, переходящей в «мёртвую петлю» радиусом $R = 2\ \text{м}$. С какой высоты $H$ был отпущен кубик, если на высоте $h = 2{,}5\ \text{м}$ от нижней точки петли сила давления кубика на стенку петли $F = 5\ \text{Н}$? Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Решение по шагам
5 шаговВ точке, расположенной на высоте $h$ над нижней точкой петли, расстояние от центра петли до кубика по вертикали равно $h-R$. Направим ось к центру петли. На кубик действуют сила реакции стенки $N=F$ и сила тяжести $mg$. Проекция силы тяжести на направление к центру равна $-mg\dfrac{h-R}{R}$.
$$N - mg\frac{h-R}{R}=\frac{mv^2}{R}$$Подставим значения $m=1\ \text{кг}$, $R=2\ \text{м}$, $h=2{,}5\ \text{м}$, $N=5\ \text{Н}$ и $g=10\ \text{м/с}^2$.
$$5-10\frac{2{,}5-2}{2}=\frac{v^2}{2}$$Отсюда скорость кубика в данной точке удовлетворяет соотношению
$$v^2=7{,}5\ \text{м}^2/\text{с}^2$$Так как горка гладкая, механическая энергия сохраняется. В начальной точке кубик имел только потенциальную энергию, а на высоте $h$ — потенциальную и кинетическую энергию.
$$mgH=mgh+\frac{mv^2}{2}$$Выразим высоту отпускания кубика и подставим найденное значение скорости.
$$H=h+\frac{v^2}{2g}=2{,}5+\frac{7{,}5}{20}=2{,}875\ \text{м}$$Высота, с которой был отпущен кубик: $H \approx 2{,}9\ \text{м}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирают направление радиальной составляющей силы тяжести.
Используют силу давления $F$ как полную силу, не учитывая силу тяжести в радиальном направлении.
Забывают кинетическую энергию кубика при применении закона сохранения энергии.
Подставляют в закон сохранения энергии высоту относительно центра петли вместо высоты относительно нижней точки.